Question

17．如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于C点，其部分值对应如下表：

x	0	1	2
ax2		1
ax2+bx+c	-3		-3

（1）求该二次函数的解析式；
（2）⊙M过A、B、C三点，交y轴于另一点D，求圆心M和D点的坐标；
（3）连接BM、DM，将∠BMD绕点M逆时针旋转，两边BM、DM与x轴、y轴分别交于P、Q．若△PBM为等腰三角形，求Q点的坐标．

Answer 1

分析 （1）将表格内三组对应数值代入相应的解析式，可得到关于a、b、c的方程，从而可求得a、b、c的值；
（2）作MQ⊥y轴，垂足为Q．由抛物线的解析式先求得A、B、C的坐标，然后求得抛物线的对称轴方程为x=1，从而得到点M的横坐标为1，设M（1，n），由两点间的距离公式的得到关于n的方程，从而可求得n的值，于是得到点M的坐标，然后依据垂径定理可求得点D的坐标；
（3）连接BD．依据勾股定理的逆定理可判断△DMB为直角三角形，接下来，依据ASA证明△PMB≌△QMD，故此当△QMD为等腰三角形时，△PNM必为等腰三角形，最后分为DQ=DM、QM=DM、QD=MQ三种情况求解即可．

解答 解：（1）∵当x=1时，ax²=1，
∴a=1．
∴当x=0时，x²+bx+c=-3，当x=2时，x²+bx+c=-3．
∴$\left\{\begin{array}{l}{4+2b+c=-3}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{c=-3}\\{b=-2}\end{array}\right.$．
∴二次函数的表达是为y=x²-2x-3．
（2）如图1所示：作MQ⊥y轴，垂足为Q．

∵由x²-2x-3=0，得x=3或x=-1，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）．
∵x=-$\frac{b}{2a}$=1，
∴M的横坐标为1．
设M（1，n）．
∵MA=MC，
∴（-1-1）²+n²=1²+（-3-n）²，解得；n=-1．
∴M（1，-1）．
∵MD=MC，MQ⊥CD，
∴QD=CQ=2．
∴D（0，1）．
（3）如图2所示：连接BD．

∵由两点间的距离公式可知：BM=DM=$\sqrt{5}$，DB=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴BM²+MD²=BD²．
∴△DMB为直角三角形．
∵∠DON=∠BMN=90°，∠DNO=∠BNM，
∴∠NDO=∠NBM．
∵∠PMQ=∠BMD，
∴∠PMB=∠QMD．
在△PMB和△QMD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NDO=∠NBM}\\{MB=MD}\\{∠PMB=∠QMD}\end{array}\right.$，
∴△PMB≌△QMD．
∴当△QMD为等腰三角形时，△PNM必为等腰三角形．
①当DQ=DM时，QD=DM=$\sqrt{5}$，
∵D（0，1），QD=$\sqrt{5}$，
∴Q（0，1-$\sqrt{5}$）．
②当QM=DM时，点Q在圆M上，此时点Q与点C重合，则点Q（0，-3）．
③当QD=MQ时．设Q（0，n）．
∵QD=QM，
∴（1-n）²=1²+（n+1）²，整理得：-4n=1，解得：n=-$\frac{1}{4}$．-2n=2n+1
∴Q（0，-$\frac{1}{4}$）．
综上所述点Q的坐标为（0，1-$\sqrt{5}$）或（0，-3）或（0，-$\frac{1}{4}$）．

点评 本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、垂径定理、勾股定理、等腰三角形、全等三角形、旋转等知识点，是代数与几何的综合题．第（3）问中，注意转化思想以及分类讨论思想的运用