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    若正方形的四个顶点分别在直角三角形的三条边上，直角三角形的两直角边的长分别为3cm和4cm，则此正方形的边长为
     
    cm．
    分析：由于正方形的位置不确定要分两种情况讨论：①正方形有一个顶点在斜边上，②正方形有两个顶点在斜边上；①可设出正方形的边长，利用相似三角形的成比例线段求解；②可用正方形的边长表示出直角三角形的斜边长，进而可列方程求出正方形的边长．
    解答：精英家教网解：如图；
    Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理，得：
    AC=
    		AB2+BC2
    =5；
    （1）如图①，设正方形的边长为x，则AD=3-x，CF=4-x；
    易证得△ADE∽△EFC；
    ∴
    DE
    FC
    =
    AD
    EF
    ，即
    x
    4-x
    =
    3-x
    x
    ，解得x=
    12
    7
    ；
    即正方形的边长为
    12
    7
    ；
    （2）如图②，设正方形的边长为x，则AG=
    3
    4
    x，CF=
    4
    3
    x；
    ∴AC=AG+EF+CF=
    3
    4
    x+
    4
    3
    x+x=5，解得x=
    60
    37
    ；
    即正方形的边长为
    60
    37
    ；
    故这个正方形的边长为
    12
    7
    或
    60
    37
    cm．
    点评：此题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用等知识，同时还考查了分类讨论的数学思想方法．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    某课题学习小组在一次活动中对三角形的内接正方形的有关问题进行了探讨：

      定义：如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形.

      结论：在探讨过程中，有三位同学得出如下结果：

           甲同学：在钝角、直角、不等边锐角三角形中分别存在____个、____个、_____个大小不同的内接正方形.

           乙同学：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大.

           丙同学：在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小.

    任务：（1）填充甲同学结论中的数据；

           （2）乙同学的结果正确吗？若不正确，请举出一个反例并通过计算给予说明，若正确，请给出证明；

           （3）请你结合（2）的判定，推测丙同学的结论是否正确，并证明。

    （如图，设锐角△ABC的三条边分别为不妨设，三条边上的对应高分别为，内接正方形的边长分别为.若你对本小题证明有困难，可直接用“”这个结论，但在证明正确的情况下扣1分）.

     

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    定义：如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形.
    结论：在探讨过程中，有三位同学得出如下结果：
    甲同学：在钝角、直角、不等边锐角三角形中分别存在____个、________个、________个大小不同的内接正方形.
    乙同学：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大.
    丙同学：在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小.
    任务：（1）填充甲同学结论中的数据；
    （2）乙同学的结果正确吗？若不正确，请举出一个反例并通过计算给予说明，若正确，请给出证明；
    （3）请你结合（2）的判定，推测丙同学的结论是否正确，并证明
    （如图，设锐角△ABC的三条边分别为不妨设，三条边上的对应高分别为，内接正方形的边长分别为.若你对本小题证明有困难，可直接用“”这个结论，但在证明正确的情况下扣1分）.

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    科目：初中数学 来源：2011年初中毕业升学考试（江西卷）数学 题型：解答题

    某课题学习小组在一次活动中对三角形的内接正方形的有关问题进行了探讨：
    定义：如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形.
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    甲同学：在钝角、直角、不等边锐角三角形中分别存在____个、________个、________个大小不同的内接正方形.
    乙同学：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大.
    丙同学：在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小.
    任务：（1）填充甲同学结论中的数据；
    （2）乙同学的结果正确吗？若不正确，请举出一个反例并通过计算给予说明，若正确，请给出证明；
    （3）请你结合（2）的判定，推测丙同学的结论是否正确，并证明
    （如图，设锐角△ABC的三条边分别为不妨设，三条边上的对应高分别为，内接正方形的边长分别为.若你对本小题证明有困难，可直接用“”这个结论，但在证明正确的情况下扣1分）.

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    科目：初中数学 来源：2011年江苏省江阴市九年级上学期期中考试数学卷 题型：解答题

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            甲同学：在钝角、直角、不等边锐角三角形中分别存在____个、____个、_____个大小不同的内接正方形.

            乙同学：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大.

            丙同学：在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小.

    任务：（1）填充甲同学结论中的数据；

           （2）乙同学的结果正确吗？若不正确，请举出一个反例并通过计算给予说明，若正确，请给出证明；

           （3）请你结合（2）的判定，推测丙同学的结论是否正确，并证明。

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            乙同学：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大.

            丙同学：在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小.

    任务：（1）填充甲同学结论中的数据；

         （2）乙同学的结果正确吗？若不正确，请举出一个反例并通过计算给予说明，若正确，请给出证明；

         （3）请你结合（2）的判定，推测丙同学的结论是否正确，并证明

    （如图，设锐角△ABC的三条边分别为不妨设，三条边上的对应高分别为，内接正方形的边长分别为.若你对本小题证明有困难，可直接用“”这个结论，但在证明正确的情况下扣1分）.

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