Question

【题目】如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．

（1）证明：DF是⊙O的切线；

（2）若AC＝3AE，FC＝6，求AF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AF＝3．

【解析】

（1）连接OD，根据等边对等角性质和平行线的判定和性质证得OD⊥DF，从而证得DF是⊙O的切线；

（2）根据圆周角定理、勾股定理得出BE=2AE，CE=4AE，然后根据勾股定理求得BE=2AE，再根据相似三角形的判定与性质，即可得到答案．

（1）证明：如图1，连接OD，

∵OB＝OD，

∴∠B＝∠ODB，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∴∠ODB＝∠C，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF，

∴DF是⊙O的切线；

（2）解：如图2，连接BE，AD，

∵AB是直径，

∴∠AEB＝90°，

∵AB＝AC，AC＝3AE，

∴AB＝3AE，CE＝4AE，

∴，

∴，

∵∠DFC＝∠AEB＝90°，

∴DF∥BE，

∴△DFC∽△BEC，

∴ ，

∵CF＝6，

∴DF＝3，

∵AB是直径，

∴AD⊥BC，

∵DF⊥AC，

∴∠DFC＝∠ADC＝90°，∠DAF＝∠FDC，

∴△ADF∽△DCF，

∴，

∴DF2＝AFFC，

∴，

∴AF＝3．