分析 (1)如图1,利用弦、弧的关系得到$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$,则$\widehat{AD}$=$\widehat{BC}$,然后根据圆周角定理可得∠B=∠D;
(2)如图2,先由(1)得∠B=∠EDB=45°,再利用圆周角定理得到∠AOD=2∠B=90°,然后证明△AOF≌△DOG得到GD=AF,于是有CG=BF;
②设CE=2x,DG=5x,则AF=DG=5x,接着表示出AE=CE=2x,EG=3-2x,DE=3+3x,EF=3x,然后通过证明△AEG∽△DEF,则利用相似比可求出x=1,从而得到EG=1,AE=2,DG=5,再利用勾股定理计算出AG=$\sqrt{5}$,最后证明△AEG∽△DOG,则利用相似比可计算出OD.
解答 (1)证明:如图1,
∵AB=CD,
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$,
∴$\widehat{AB}$-$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$-$\widehat{AC}$,
即$\widehat{AD}$=$\widehat{BC}$,
∴∠B=∠D;
(2)①证明:如图2,
∵AB⊥CD,
∴∠BED=90°,
由(1)得∠B=∠EDB,
∴∠B=45°,
∴∠AOD=2∠B=90°,
∴∠AOF=∠BOG=90°,
∵∠1+∠3=∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠2,
在△AOF和△DOG中
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{∠AOF=∠DOG}\\{OA=OD}\end{array}\right.$,
∴△AOF≌△DOG,
∴GD=AF,
∵AB=CD,
∴CG=BF;
②设CE=2x,DG=5x,则AF=DG=5x,
∵∠B=∠EDB,
∴EB=ED,
∵AB=CD,
∴AE=CE=2x,
由①得CG=BF=3,
∴EG=3-2x,
DE=DG+EG=5x+3-2x=3+3x,
EF=AF-AE=5x-2x=3x,
∵∠1=∠2=∠AGE,∠AEG=∠DEF=90°,
∴△AEG∽△DEF,
∴AE:DE=EG:EF,即2x:(3+3x)=(3-2x):3x,解得x1=1,x2=-$\frac{3}{4}$(舍去),
∴EG=1,AE=2,DG=5,
在Rt△AEG中,AG=$\sqrt{A{E}^{2}+E{G}^{2}}$=$\sqrt{5}$,
∵∠2=∠AGE,∠AEG=∠DCG,
∴△AEG∽△DOG,
∴AE:OD=AG:DG,即2:OD=$\sqrt{5}$:5,解得OD=2$\sqrt{5}$,
∴⊙O的半径是2$\sqrt{5}$.
点评 本题考查了圆的综合题:熟练掌握圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系;会运用三角形全等的知识解决线段相等的问题,运用勾股定理和相似比计算线段的长.解决(2)小题的第2个问题,通过代数法表示线段的长,再利用相似比建立方程可求出相应线段的长.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | -3<-4 | B. | -(-3)<|-3| | C. | -$\frac{1}{2}$>-$\frac{1}{3}$ | D. | |-$\frac{1}{6}$|>-$\frac{1}{7}$ |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | -1或3 | B. | -$\frac{5}{6}$或3 | C. | 3 | D. | -$\frac{5}{6}$ |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 3(a-b)(2a-2b) | B. | (a-b)(6a-6b+3) | C. | 3(a-b)(2a-2b+1) | D. | 3(b-a)(2b-2a+1) |
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 2 | B. | 3 | C. | 4 | D. | 5 |
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