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12.在⊙O中,AB、CD为两条弦,AB=CD,AB、CD交于点E,连结BD.
(1)如图1,求证:∠B=∠D:
(2)如图2,连结D并延长交弦AB于点F,连结AO交弦CD于点G,已知AB⊥CD.
①求证:CG=BF;
②当CE=$\frac{2}{5}$DG时,若BF=3,求⊙O的半径.

分析 (1)如图1,利用弦、弧的关系得到$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$,则$\widehat{AD}$=$\widehat{BC}$,然后根据圆周角定理可得∠B=∠D;
(2)如图2,先由(1)得∠B=∠EDB=45°,再利用圆周角定理得到∠AOD=2∠B=90°,然后证明△AOF≌△DOG得到GD=AF,于是有CG=BF;
②设CE=2x,DG=5x,则AF=DG=5x,接着表示出AE=CE=2x,EG=3-2x,DE=3+3x,EF=3x,然后通过证明△AEG∽△DEF,则利用相似比可求出x=1,从而得到EG=1,AE=2,DG=5,再利用勾股定理计算出AG=$\sqrt{5}$,最后证明△AEG∽△DOG,则利用相似比可计算出OD.

解答 (1)证明:如图1,
∵AB=CD,
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$,
∴$\widehat{AB}$-$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$-$\widehat{AC}$,
即$\widehat{AD}$=$\widehat{BC}$,
∴∠B=∠D;
(2)①证明:如图2,
∵AB⊥CD,
∴∠BED=90°,
由(1)得∠B=∠EDB,
∴∠B=45°,
∴∠AOD=2∠B=90°,
∴∠AOF=∠BOG=90°,
∵∠1+∠3=∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠2,
在△AOF和△DOG中
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{∠AOF=∠DOG}\\{OA=OD}\end{array}\right.$,
∴△AOF≌△DOG,
∴GD=AF,
∵AB=CD,
∴CG=BF;
②设CE=2x,DG=5x,则AF=DG=5x,
∵∠B=∠EDB,
∴EB=ED,
∵AB=CD,
∴AE=CE=2x,
由①得CG=BF=3,
∴EG=3-2x,
DE=DG+EG=5x+3-2x=3+3x,
EF=AF-AE=5x-2x=3x,
∵∠1=∠2=∠AGE,∠AEG=∠DEF=90°,
∴△AEG∽△DEF,
∴AE:DE=EG:EF,即2x:(3+3x)=(3-2x):3x,解得x1=1,x2=-$\frac{3}{4}$(舍去),
∴EG=1,AE=2,DG=5,
在Rt△AEG中,AG=$\sqrt{A{E}^{2}+E{G}^{2}}$=$\sqrt{5}$,
∵∠2=∠AGE,∠AEG=∠DCG,
∴△AEG∽△DOG,
∴AE:OD=AG:DG,即2:OD=$\sqrt{5}$:5,解得OD=2$\sqrt{5}$,
∴⊙O的半径是2$\sqrt{5}$.

点评 本题考查了圆的综合题:熟练掌握圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系;会运用三角形全等的知识解决线段相等的问题,运用勾股定理和相似比计算线段的长.解决(2)小题的第2个问题,通过代数法表示线段的长,再利用相似比建立方程可求出相应线段的长.

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3.多项式6(a-b)2+3(a-b)分解因式的结果是(  )
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7.阅读材料:
$\frac{1}{{\sqrt{2}+1}}=\frac{{1×(\sqrt{2}-1)}}{{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}}=\sqrt{2}-1$;
$\frac{1}{{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}{{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$;
$\frac{1}{{\sqrt{5}+2}}=\frac{{\sqrt{5}-2}}{{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}}=\sqrt{5}-2$

按照上述式子变形的思路求:
(1)$\frac{1}{{\sqrt{7}+\sqrt{6}}}$;
(2)$\frac{1}{{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}$(n为正整数)
(3)根据你发现的规律,请计算:$(\frac{1}{{1+\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{4}+\sqrt{3}}}+…+\frac{1}{{\sqrt{2010}+\sqrt{2009}}}+\frac{1}{{\sqrt{2011}+\sqrt{2010}}})(1+\sqrt{2011})$.

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(2)在整个运动过程中,设Rt△EFG与△ACD的重合部分面积为S,当t$>\sqrt{3}$时,求出满足S=$\frac{2}{3}$S△EFG的相应的t的值;
(3)如图2,当点E恰好落在DC上时,将△EFC绕点F顺时针旋转α°(0<α<180),记旋转中的△EFC为△E′FC′,在旋转过程中,设直线E′C′与直线AC交于N,与直线AB交于M,是否存在这样的M、N两点,使△AMN为等腰三角形?若存在求出此时FN的值;若不存在,请说明理由.

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