Question

如图1，在梯形ABCD中，AB=BC=10cm，CD=6cm，∠C=∠D=90°．
（1）如图2，动点P、Q同时以每秒1cm的速度从点B出发，点P沿BA，AD，DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，设P、Q同时从点B出发t秒时，△PBQ的面积为y₁（cm²），求y₁（cm²）关于t（秒）的函数关系式；
（2）如图3，动点P以每秒1cm的速度从点B出发沿BA运动，点E在线段CD上随之运动，且PC=PE．设点P从点B出发t秒时，四边形PADE的面积为y₂（cm²），求y₂（cm²）关于t（秒）的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）本题的关键是看三角形BPQ中，BQ边上的高的值，分三种情况进行讨论：
①当P在BA上运动时，过P作PN⊥BC于N，过A作AM⊥BC于M，那么AM的值不难求出，可在相似三角形BPN和BAM中，表示出PN的长．
②当P在AD上运动时，高PN=DC．
③当P在DC上运动时，高PC=BA+AD+DC-t．
然后根据三角形的面积公式即可求出y₁，t的函数关系式．
（2）由于四边形APED不是规则的四边形，因此其面积可用梯形ABCD的面积-三角形BPC的面积-三角形CPE的面积来求．关键还是求出三角形BPC和CPE的高，过P分别作PF⊥CD于F，PH⊥BC于H，PH=CF=

1

2

CE，而PF的长可用BC-BH来得出，由此可得出关于y₂与t的函数关系式．

解答：解：（1）过点A作AM⊥BC于M，如图1，则AM=6，BM=8，
∴AD=MC=2．
过点P作PN⊥BC于N，则△PNB∽△AMB，
∴

PN

AM

=

BP

BA

．
∴

PN

6

=

t

10

．
∴PN=

3

5

t．
①当点P在BA上运动时，
y₁=

1

2

BQ•NP=

1

2

t•

3

5

t=

3

10

t²；
②当点P在AD上运动时，BQ=BC=10，PN=DC=6，
y₁=

1

2

BQ•NP=

1

2

×10×6=30；
③当点P在DC上运动时，
y₁=

1

2

BQ•CP=

1

2

×10（10+2+6-t）=-5t+90．

（2）过点P作PF⊥CD于F，PH⊥BC于H，如图2，
∵∠BCD=90°，
∴四边形PHCF是矩形，
∴FC=EF=PH=

3

5

t，
在Rt△BHP中，BH=

BP2-PH2

=

t2-( 3 5 t)2

=

4

5

t，
∴PF=BC-HB=10-

4

5

t．
∴y₂=S_梯形ABCD-S_△BPC-S_△PEC=

1

2

（2+10）×6-

1

2

×10×

3

5

t-

1

2

×

6

5

t（10-

4

5

t）
=

12

25

t²-9t+36
当CE=CD时，

6

5

t=6，
∴t=5．
∴自变量t的取值范围是0≤t≤5．

点评：本题主要考查了梯形的性质，三角形的相似，图形面积的求法及二次函数的综合应用等知识点．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．