Question

如图，四边形ABCD是矩形，点P是直线AD与BC外的任意一点，连接PA、PB、PC、PD．请解答下列问题：
（1）如图1，当点P在线段BC的垂直平分线MN上（对角线AC与BD的交点Q除外）时，证明△PAC≌△PDB；
（2）如图2，当点P在矩形ABCD内部时，求证：PA²+PC²=PB²+PD²；
（3）若矩形ABCD在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（1，1），点D的坐标为（5，3），如图3所示，设△PBC的面积为y，△PAD的面积为x，求y与x之间的函数关系式．

Answer 1

解：（1）作BC的中垂线MN，在MN上取点P， 连接PA、PB、PC、PD，如图1所示， ∵MN是BC的中垂线， ∴PA=PD，PC=PB， 又∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=DB， 即， ∴△PAC≌△PDB（SSS）； （2）证明：过点P作KG∥BC，如图2， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB⊥BC，DC⊥BC， ∴AB⊥KG，DC⊥KG， ∴在Rt△PAK中，PA2=AK2+PK2， 同理，PC2=CG2+PG2，PB2=BK2+PK2，PD2=+DG2+PG2， PA2+PC2=AK2+PK2+CG2+PG2，PB2+PD2=BK2+PK2+DG2+PG2． AB⊥KG，DC⊥KG，AD⊥AB，可证得四边形ADGK是矩形， ∴AK=DG，同理CG=BK， ∴AK2=DG2，CG2=BK2， ∴PA2+PC2=PB2+PD2； （3）∵点B的坐标为（1，1），点D的坐标为（5，3）， ∴BC=4，AB=2， ∴S矩形ABCD=4×2=8， 直线HI垂直BC于点I，交AD于点H， 当点P在直线AD与BC之间时， S△PAD+S△PBC=BC·HI=4， 即x+y=4，因而y与x的函数关系式为y=4﹣x； 当点P在直线AD上方时， S△PBC﹣S△PAD=BC·HI=4， 因而y与x的函数关系式为y=4+x； 当点P在直线BC下方时， S△PAD﹣S△PBC=BC·HI=4， y与x的函数关系式为y=x﹣4．

图1 图2 图3