Question

16．如图1，在正方形ABCD中，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
（1）若点E是BC边上的中点，求证：AE=EF；
（2）如图2，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE=EF”是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，若点E是BC边上的任意点一，在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEF是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）取AB的中点H，连接EH，根据已知及正方形的性质利用ASA判定△AHE≌△ECF，从而得到AE=EF；
（2）成立，延长BA到M，使AM=CE，根据已知及正方形的性质利用ASA判定△AHE≌△ECF，从而得到AE=EF；
（3）存在，作DM⊥AE于AB交于点M，则有：DM∥EF，连接ME、DF，证明△ADM≌△BAE（ASA），得到DM=AE，由（1）AE=EP，所以DM=EP，所以四边形DMEP为平行四边形．

解答 （1）证明：取AB的中点H，连接EH；如图1所示

∵四边形ABCD是正方形，AE⊥EF；
∴∠1+∠AEB=90°，∠2+∠AEB=90°
∴∠1=∠2，
∵BH=BE，∠BHE=45°，且∠FCG=45°，
∴∠AHE=∠ECF=135°，AH=CE，在△AHE和△ECF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}&{\;}\\{AH=CE}&{\;}\\{∠AHE=∠ECF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；
（2）解：AE=EF成立，
理由如下：如图2，延长BA到M，使AM=CE，

∵∠AEF=90°，
∴∠FEG+∠AEB=90°．
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠FEG，
∴∠MAE=∠CEF．
∵AB=BC，
∴AB+AM=BC+CE，
即BM=BE．
∴∠M=45°，
∴∠M=∠FCE．
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAE=∠CEF}\\{AM=CE}\\{∠M=∠FCE}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE=EF．
（3）存在，
理由如下：如图3，作DM⊥AE于AB交于点M，则有：DM∥EF，连接ME、DF，

在△ADM与△BAE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADM=∠BAE}&{\;}\\{AD=AB}&{\;}\\{∠DAM=∠ABE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△BAE（ASA），
∴DM=AE，
∵由（1）AE=EP，
∴DM=EP，
∴四边形DMEP为平行四边形．

点评 此题考查学生对正方形的性质及全等三角形判定的理解及运用，解决本题的关键是作出辅助线．