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已知,如图,抛物线y=ax2-2ax+c(a≠0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A,B,点A的坐标为(4,0).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)在x轴上是否存在点M,使得△ACM是等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE∥AC,交BC于点E,连接CQ.△CQE的面积S是否有最大值?如果有最大值,请求出这个最大值,并求出点Q的坐标.
分析:(1)把C(0,4),A(4,0)代入y=ax2-2ax+c,得到关于a与c的方程组,解方程组即可;
(2)先在Rt△AOC中运用勾股定理求出AC的长度,再根据△ACM是等腰三角形分三种情况讨论:①AM=AC;②CM=CA;③MA=MC;
(3)设BQ=x,因为EQ∥AC,所以△BEQ∽△BCA,再利用相似三角形的性质得出S△CQE=
1
2
x×4-
1
3
x2=-
1
3
x2+2x,然后利用二次函数的性质求出点Q的坐标.
解答:解:(1)把C(0,4),A(4,0)代入y=ax2-2ax+c(a≠0)得,
c=4,16a-8a+c=0,
解得a=-
1
2
,c=4,
∴该抛物线的解析式为y=-
1
2
x2+x+4;

(2)在x轴上存在点M,能够使得△ACM是等腰三角形.理由如下:
在Rt△AOC中,∵AO=4,OC=3,∠AOC=90°,
∴AC=
OA2+OC2
=4
2

分三种情况:
①如果AM=AC,那么M1(4-4
2
,0),M2(4+4
2
,0);
②如果CM=CA,那么M3(-4,0),
③如果MA=MC,则M在是AC的垂直平分线与x轴的交点,即M与原点O重合,M4(0,0);
故在x轴存在一点P,使△ACP是等腰三角形,满足条件的P点坐标是(4-4
2
,0)或(4+4
2
,0)或(-4,0)或(0,0);

(3)∵y=-
1
2
x2+x+4,
∴当y=0时,-
1
2
x2+x+4=0,
解得x=-2或x=4,
∵点A的坐标为(4,0),
∴点B的坐标为(-2,0,),AB=6,
∴S△ABC=
1
2
×6×4=12.
设BQ=x,
∵EQ∥AC,
∴△BEQ∽△BCA,
S△BEQ
S△BCA
=(
BQ
AB
2=
x2
36

∴S△BEQ=
x2
36
×12=
1
3
x2
∴S△CQE=S△BCQ-S△BEQ=
1
2
x×4-
1
3
x2=-
1
3
x2+2x,
当x=
-2
2×(-
1
3
)
=3时,S△CQE面积最大,
∵OQ=BQ-OB=3-2=1
∴Q点坐标为(1,0).
点评:本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式,等腰三角形的判定,三角形的面积,二次函数图象上点的坐标特征,二次函数的最值等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行计算是解此题的关键.题型较好,综合性强.
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3
,0)和点B,将抛物线沿x轴向上翻折,顶点P落在点P′(1,3)处.
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5
-1
2
(约等于0.618).请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少?(参考数据:
5
≈2.236
6
≈2.449
,结果精确到0.001)

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已知,如图,抛物线y=ax2-2ax+c(a≠0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A,B,点A的坐标为(4,0).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若点M在抛物线上,且△ABC与△ABM的面积相等,直接写出点M的坐标;
(3)点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE∥AC,交BC于点E,连接CQ.当△CQE的面积最大时,求点Q的坐标;
(4)若平行于x轴的动直线l与线段AC交于点F,点D的坐标为(2,0).问:是否存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形?若存在,请求出直线l的解析式;若不存在,请说明理由.

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