Question

已知，如图，抛物线y=ax²-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A，B，点A的坐标为（4，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在x轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．△CQE的面积S是否有最大值？如果有最大值，请求出这个最大值，并求出点Q的坐标．

Answer 1

分析：（1）把C（0，4），A（4，0）代入y=ax²-2ax+c，得到关于a与c的方程组，解方程组即可；
（2）先在Rt△AOC中运用勾股定理求出AC的长度，再根据△ACM是等腰三角形分三种情况讨论：①AM=AC；②CM=CA；③MA=MC；
（3）设BQ=x，因为EQ∥AC，所以△BEQ∽△BCA，再利用相似三角形的性质得出S_△CQE=

1

2

x×4-

1

3

x²=-

1

3

x²+2x，然后利用二次函数的性质求出点Q的坐标．

解答：解：（1）把C（0，4），A（4，0）代入y=ax²-2ax+c（a≠0）得，
c=4，16a-8a+c=0，
解得a=-

1

2

，c=4，
∴该抛物线的解析式为y=-

1

2

x2+x+4；

（2）在x轴上存在点M，能够使得△ACM是等腰三角形．理由如下：
在Rt△AOC中，∵AO=4，OC=3，∠AOC=90°，
∴AC=

OA2+OC2

=4

2

．
分三种情况：
①如果AM=AC，那么M₁（4-4

2

，0），M₂（4+4

2

，0）；
②如果CM=CA，那么M₃（-4，0），
③如果MA=MC，则M在是AC的垂直平分线与x轴的交点，即M与原点O重合，M₄（0，0）；
故在x轴存在一点P，使△ACP是等腰三角形，满足条件的P点坐标是（4-4

2

，0）或（4+4

2

，0）或（-4，0）或（0，0）；

（3）∵y=-

1

2

x2+x+4，
∴当y=0时，-

1

2

x2+x+4=0，
解得x=-2或x=4，
∵点A的坐标为（4，0），
∴点B的坐标为（-2，0，），AB=6，
∴S_△ABC=

1

2

×6×4=12．
设BQ=x，
∵EQ∥AC，
∴△BEQ∽△BCA，
∴

S△BEQ

S△BCA

=（

BQ

AB

）²=

x2

36

，
∴S_△BEQ=

x2

36

×12=

1

3

x²，
∴S_△CQE=S_△BCQ-S_△BEQ=

1

2

x×4-

1

3

x²=-

1

3

x²+2x，
当x=

-2

2×(- 1 3 )

=3时，S_△CQE面积最大，
∵OQ=BQ-OB=3-2=1
∴Q点坐标为（1，0）．

点评：本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的判定，三角形的面积，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．题型较好，综合性强．