Question

如图，把两个全等的腰长为8 的等腰直角三角形沿他们的斜边拼接得到四边形ABCD，N是斜边AC上一动点。
（Ⅰ）若E、F为AC的三等分点，求证：∠ADE= ∠CBF；      
（Ⅱ）若M是DC上一点，且DM=2，求DN+MN的最小值；（注：计算时可使用如下定理：在直角△ABC中，若∠C=90°，则AB2=AC2+BC2）
（Ⅲ）若点P在射线BC上，且NB=NP，求证：NP⊥ND。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵E、F为AC的三等分点，       ∴AE=AC，CF=AC ∴AE=CF．       ∵AB=BC，∠ABC=90°，       ∵∠BAC= ∠BCA=45°．       同理∠DAC=45 °．       ∴∠BCA= ∠DAC．       ∵△ASC≌△CDA，      ∴CB=AD．       ∴在△ADE和△CBF中，        AE=CF，∠DAE= ∠BCF，AD=CB，       ∴△ADE≌△CBF（SAS）       ∴∠ADE= ∠CBF；   （Ⅱ）∵D、B关于AC对称，所以当B、N、M在一直线上时，DN+MN最小       ∵AB=8,DM=2， ∴CM=6        在Rt △MCB中，∠MCB=90°，CM=6，BC=8， 根据题中定理可求出BM=10  ∴DN+MN最小值为10 （Ⅲ）①当点P在线段BC上（P与B、C不重合）时，     ∵NB=NP ∴∠NBP= ∠NPB     ∵D、B关于AC对称，     ∴∠NBP= ∠NDC       ∴∠NPB+ ∠NPC= ∠NDC+ ∠NPC=180 °．       ∴∠DNP=360 °- （∠BCD+ ∠NDC+ ∠NPC）=90°       ∴NP⊥ND      ②当点P与点C重合时，点N恰好在AC的中点处，       ∵∠NDC= ∠NCD=45° ∴∠DNC=90°       ∴NP⊥ND ③当点P在BC延长线上时，       ∵NB=NP ∴∠NBP= ∠NPB       ∴D、B关于AC对称， ∠NBP= ∠NDC       ∴∠NPC= ∠NDC ∵∠DHN= ∠CHP，       ∴∠DNP= ∠DCP=90° ∴NP⊥ND。