Question

4．如图，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，BN平分∠ABC，AE平分∠BAC，AE交BN于G，EF⊥AC于F，连接GF．①△AEB≌△AEF；②∠EFG=∠AFG；③图中有3对全等三角形；④EF=GF；⑤S_△AEF=2S_△AGN．上述结论正确的序号有①②④⑤．

Answer 1

分析 首先证明△ABE≌△AFE，再证明∠BGE=∠BEG=67.5°，推出四边形BGFE是菱形，由此即可判断①②③④正确，由NG∥EF，得到△ANG∽△AFE，所以$\frac{{S}_{△ANG}}{{S}_{△AEF}}$=（$\frac{GN}{EF}$）²=$\frac{1}{2}$，即可判断⑤正确．

解答 解：∵EF⊥AC，∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠AFE=90°，
∵AE平分∠BAF，
∴∠EAB=∠EAF，
在△AEB和△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠AFE}\\{∠BAE=∠FAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△AFE，故①正确，
∴BE=EF，
∵∠BGE=∠GAB+∠ABG=22.5°+45°=67.5°，
∠BEA=∠C+∠EAC=45°+22.5°=67.5°，
∴∠BGE-∠BEG，
∴BG=BE=EF，
∵BN⊥AC，EF⊥AC，
∴BG∥EF，
∴四边形BGFE是平行四边形，
∵BG=BE，
∴四边形BGFE是菱形，
∴EF=EG，故④正确，∠EFG=∠EBG=45°，
∵∠EFA=90°，
∴∠GFE=∠GFN=45°，故②正确，
∵△ABE≌△AFE，△AGB≌△AGF，△EGB≌△EGF，△ABN≌△CBN，故③错误，
∵∠NGF=∠NFG=45°，
∴NG=NF，
∴EF=GF=$\sqrt{2}$NG，
∵NG∥EF，
∴△ANG∽△AFE，
∴$\frac{{S}_{△ANG}}{{S}_{△AEF}}$=（$\frac{GN}{EF}$）²=$\frac{1}{2}$，
∴S_△AEF=2S_△ANG．故⑤正确，
∴①②④⑤正确，
故答案为①②④⑤．

点评 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用直线知识问题，最后有关结论的判断有点难度，用了相似三角形的面积比等于相似比的平方，属于中考填空题中的压轴题．