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如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象顶点为D，与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），OB=OC，tan∠ACO=

．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若平行于x轴的直线与该抛物线交于点M、N，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆的半径长度；
（3）如图2，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上的一动点，当点P运动到什么位置时，△AGP的面积最大？求此时点P的坐标和△AGP的最大面积．

分析：（1）由点B的坐标为（3，0），OB=OC，即可求得点C的坐标，又由tan∠ACO=

，即可求得点A的坐标，然后设两点式y=a（x+1）（x-3），将点C代入，即可求得这个二次函数的解析式；
（2）分别从当直线MN在x轴上方时与当直线MN在x轴下方时去分析，然后由所求圆的圆心在抛物线的对称轴x=1上，即可求得点的坐标，又由点在二次函数的图象上，即可求得该圆的半径长度；
（3）首先过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，然后求得点G的坐与直线AG得方程，然后由S_△AGP=S_△APQ+S_△GPQ=

PQ•（G_横坐标-A_横坐标），利用二次函数的最值问题，即可求得此时点P的坐标和△AGP的最大面积．

解答：解：（1）由OC=OB=3，可知点C坐标是（0，-3），
连接AC，在Rt△AOC中，
∵tan∠ACO=

，
∴OA=OC×tan∠ACO=3×

=1，
故A（-1，0），…（3分）
设这个二次函数的表达式为：y=a（x+1）（x-3），
将C（0，-3）代入得：-3=a（0+1）（0-3），
解得：a=1，
∴这个二次函数的表达式为：y=（x+1）（x-3）=x²-2x-3．…（5分）

（2）①当直线MN在x轴上方时，设所求圆的半径为R（R＞0），设M在N的左侧，
∵所求圆的圆心在抛物线的对称轴x=1上，
∴N（R+1，R）代入y=x²-2x-3中得：R=（R+1）²-2（R+1）-3，
解得R=

．…（10分）
②当直线MN在x轴下方时，设所求圆的半径为r（r＞0），由①可知N（r+1，-r），代入抛物线方程y=x²-2x-3，可得-r=（r+1）²-2（r+1）-3，
解得：r=

-1+

．…（13分）

（3）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，
把G（2，y）代入抛物线的解析式y=x²-2x-3，得G（2，-3）．…（15分）

由A（-1，0）可得直线AG的方程为：y=-x-1，…（16分）
设P（x，x²-2x-3），则Q（x，-x-1），
∴PQ=-x²+x+2，
S_△AGP=S_△APQ+S_△GPQ=

PQ•（G_横坐标-A_横坐标）=

（-x²+x+2）×3=-

（x-

）²+

，…（18分）
当x=

时，△APG的面积最大，…（19分）
此时P点的坐标为（

，-

），△APG的面积最大值为

．…（20分）

点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，点与函数的关系，三角函数的性质以及圆的切线的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想，方程思想与分类讨论思想的应用．

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（2，2）

．

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