Question

1．如图，点P在⊙O的直径AB的延长线上，PEF是⊙O的割线，且AF=FE，$\frac{PB}{PE}=\frac{5}{6}$，△ABF的面积为96．
（1）求直径AB．
（2）求sin∠P．

Answer 1

分析 （1）连接AE，作FH⊥AE于H，如图1，利用圆周角定理得∠EFB=∠EAP，则可证明△PFB∽△PAE，利用相似比得$\frac{PB}{PE}$=$\frac{FB}{AE}$=$\frac{5}{6}$，设FB=5a，则AE=6a，再利用等腰三角形的性质得AH=HE=$\frac{1}{2}$AE=3a，∠FAE=∠FEA，接着证明Rt△AFH∽Rt△BAF得到$\frac{FH}{AF}$=$\frac{AH}{BF}$=$\frac{3a}{5a}$=$\frac{3}{5}$，设FH=3t，AF=5t，根据勾股定理得（3a）²+（3t）²=（5t）²，解得t=$\frac{3}{4}$a，所以AF=5t=$\frac{15}{4}$a，然后根据三角形面积公式可计算出a=$\frac{16}{5}$，所以AF=$\frac{15}{4}$a=12，BF=5a=16，原式利用勾股定理可计算出AB=20；
（2）作FC⊥AB于C，如图2，利用面积法计算出FC=$\frac{48}{5}$，再根据切割线定理得PE•PF=PB•PA，所以$\frac{PB}{PE}$=$\frac{PF}{PA}$=$\frac{PE+12}{PB+20}$=$\frac{5}{6}$，则利用比例的性质可求出PE=$\frac{168}{11}$，所以PF=EF+PE=$\frac{300}{11}$，然后在Rt△PFC中利用正弦的定义求解．

解答 解：（1）连接AE，作FH⊥AE于H，如图1，
∵∠EFB=∠EAP，
∵∠P=∠P，
∴△PFB∽△PAE，
∴$\frac{PB}{PE}$=$\frac{FB}{AE}$=$\frac{5}{6}$，
设FB=5a，则AE=6a，
∵AF=EF，FH⊥AE，
∴AH=HE=$\frac{1}{2}$AE=3a，∠FAE=∠FEA，
∵∠ABF=∠FEA，
∴∠FAE=∠FBA，
∵AB为直径，
∴∠AFB=90°，
∴Rt△AFH∽Rt△BAF，
∴$\frac{FH}{AF}$=$\frac{AH}{BF}$=$\frac{3a}{5a}$=$\frac{3}{5}$，
设FH=3t，AF=5t，
在Rt△AHF中，（3a）²+（3t）²=（5t）²，解得t=$\frac{3}{4}$a，
∴AF=5t=$\frac{15}{4}$a，
∵△ABF的面积为96，
∴$\frac{1}{2}$•$\frac{15}{4}$a•5a=96，解得a=$\frac{16}{5}$，
∴AF=$\frac{15}{4}$a=12，BF=5a=16，
在Rt△ABF中，AB=$\sqrt{1{2}^{2}+1{6}^{2}}$=20；
（2）作FC⊥AB于C，如图2，
∵$\frac{1}{2}$FC•AB=$\frac{1}{2}$AF•BF，
∴FC=$\frac{12×16}{20}$=$\frac{48}{5}$，
∵PE•PF=PB•PA，
∴$\frac{PB}{PE}$=$\frac{PF}{PA}$=$\frac{PE+12}{PB+20}$=$\frac{5}{6}$，
∴PE=$\frac{168}{11}$，
∴PF=EF+PE=12+$\frac{168}{11}$=$\frac{300}{11}$，
在Rt△PFC中，sin∠P=$\frac{FC}{PF}$=$\frac{\frac{48}{5}}{\frac{300}{11}}$=$\frac{44}{125}$．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和切割线定理；会运用相似三角形的性质计算线段的长和求线段之间的关系；会利用勾股定理和三角形面积公式计算．