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    计算：
    1
    1×3
    +
    1
    3×5
    +
    1
    5×7
    +…+
    1
    99×101
    ．
    分析：观察原式的各项发现
    1
    n(n+2)
    =
    1
    2
    （
    1
    n
    -
    1
    n+2
    ），利用此公式对各项进行变形，然后提取
    1
    2
    ，合并抵消后即可求出值．
    解答：解：∵
    1
    n(n+2)
    =
    1
    2
    （
    1
    n
    -
    1
    n+2
    ），
    ∴原式=
    1
    2
    （
    1
    1
    -
    1
    3
    ）+
    1
    2
    （
    1
    3
    -
    1
    5
    ）+
    1
    2
    （
    1
    5
    -
    1
    7
    ）+…+
    1
    2
    （
    1
    99
    -
    1
    101
    ）
    =
    1
    2
    （1-
    1
    3
    +
    1
    3
    -
    1
    5
    +
    1
    5
    -
    1
    7
    +…+
    1
    99
    -
    1
    101
    ）
    =
    1
    2
    （1-
    1
    101
    ）
    =
    50
    101
    ．
    点评：此题考查了有理数的混合运算，利用的方法是裂项相消法，培养了学生的数感、符号感，灵活运用
    1
    n(n+2)
    =
    1
    2
    （
    1
    n
    -
    1
    n+2
    ）是解本题的关键．
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    年级 高中课程 年级 初中课程
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    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    观察下列等式：
    1
    1×2
    =1-
    1
    2
    ，
    1
    2×3
    =
    1
    2
    -
    1
    3
    ，
    1
    3×4
    =
    1
    3
    -
    1
    4
    ，
    …
    1
    n(n+1)
    =
    1
    n
    -
    1
    n+1

    将以上等式相加得到
    1
    1×2
    +
    1
    2×3
    +
    1
    3×4
    +…+
    1
    n(n+1)
    =1-
    1
    n+1
    ．
    用上述方法计算：
    1
    1×3
    +
    1
    3×5
    +
    1
    5×7
    +…+
    1
    99×101
    其结果为（　　）
    A、
    50
    101
    B、
    49
    101
    C、
    100
    101
    D、
    99
    101

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （阅读理解）
    ∵
    1
    1×2
    =
    1
    1
    -
    1
    2

    1
    2×3
    =
    1
    2
    -
    1
    3

    1
    3×4
    =
    1
    3
    -
    1
    4

    …
    ∴计算：
    1
    1×2
    +
    1
    2×3
    +
    1
    3×4
    +    …+
    1
    2004×2005

    =
    1
    1
    -
    1
    2
    +
    1
    2
    -
    1
    3
    +
    1
    3
    -
    1
    4
    +…    +
    1
    2004
    -
    1
    2005

    =1-
    1
    2005

    =
    2004
    2005

    理解以上方法的真正含义，计算：
    1
    1×3
    +
    1
    3×5
    +…+
    1
    2003×2005
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    我们道：
    1
    1×2
    =1-
    1
    2
    ，
    1
    2×3
    =
    1
    2
    -
    1
    3
    ，
    1
    3×4
    =
    1
    3
    -
    1
    4
    …那么
    1
    n(n+1)
    =
     
    ．
    利用上面的规律计算：
    1
    1×3
    +
    1
    3×5
    +
    1
    5×7
    +    …+
    1
    2007×2009
    =
     
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    观察等式：
    1
    1×2
    =1-
    1
    2
    ，
              
    1
    2×3
    =
    1
    2
    -
    1
    3
    ，
             
    1
    3×4
    =
    1
    3
    -
    1
    4
    ，
    将以上三个等式两边分别相加得
    1
    1×2
    +
    1
    2×3
    +
    1
    3×4
    =1-
    1
    2
    +
    1
    2
     -
    1
    3
    +
    1
    3
    -
    1
    4
    =1-
    1
    4
    =
    3
    4
    ．
    （1）猜想并写出：
    1
    n(n+1)
    =
    1
    n
    -
    1
    n+1
    1
    n
    -
    1
    n+1
    ．
    （2）直接写出下式的计算结果：
    1
    1×2
    +
    1
    2×3
    +
    1
    3×4
    +…+
    1
    2010×2011
    =
    2010
    2011
    2010
    2011
    ．
    （3）探究并计算：
    1
    1×3
    +
    1
    3×5
    +
    1
    5×7
    +…+
    1
    2009×2011
    =
    1005
    2011
    1005
    2011
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    计算：
    1
    1×3
    +
    1
    3×5
    +…+
    1
    2009×2011
    +
    1
    2011×2013
    ．

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