Question

如图所示：一幅三角板如图放置，等腰直角三角板ABC固定不动，另一块三角板的直角顶点放在等腰直角三角形的斜边中点O 处，且可以绕点O旋转，在旋转过程中，两直角边的交点G、H始终在边AB、BC上．
（1）在旋转过程中线段BG和CH大小有何关系？证明你的结论．
（2）若AB=BC=4cm，在旋转过程中四边形GBHO的面积是否改变？若不变，求出它的值；若改变，求出它的取值范围．
（3）若交点G、H分别在边AB、BC的延长线上，则（1）中的结论仍然成立吗？请画出相应的图形，直接写出结论．

Answer 1

解：（1）BG和CH为相等关系，
如图1，连接BD，
∵等腰直角三角形ABC，D为AC的中点，
∴DB=DC=DA，∠A=∠DBH=45°，BD⊥AC，
∵∠EDF=90°，
∴∠ADG+∠GDB=90°，
∴∠BDG+∠BDH=90°，
∴∠ADG=∠HDB，
∴在△ADG和△BDH中，
，
∴△ADG≌△BDH（ASA），
∴AG=BH，
∵AB=BC，
∴BG=HC，

（2）∵等腰直角三角形ABC，D为AC的中点，
∴DB=DC=DA，∠DBG=∠DCH=45°，BD⊥AC，
∵∠GDH=90°，
∴∠GDB+∠BDH=90°，
∴∠CDH+∠BDH=90°，
∴∠BDG=∠HDC，
∴在△BDG和△CDH中，
，
∵△BDG≌△CDH（ASA），
∴S_{四边形DGBH}=S_△BDH+S_△GDB=S_△ABD，
∵DA=DC=DB，BD⊥AC，
∴S_△ABD=S_△ABC，
∴S_{四边形DGBH}=S_△ABC=4cm²，
∴在旋转过程中四边形GBHD的面积不变，

（3）当三角板DEF旋转至图2所示时，（1）的结论仍然成立，
如图2，连接BD，
∵BD⊥AC，AB⊥BH，ED⊥DF，
∴∠BDG=90°-∠CDG，∠CDH=90°-∠CDG，
∴∠BDG=∠CDH，
∵等腰直角三角形ABC，
∴∠DBC=∠BCD=45°，
∴∠DBG=∠DCH=135°，
∴在△DBG和△DCH中，
，
∴△DBG≌△DCH（ASA），
∴BG=CH．

分析：（1）连接BD，根据等腰直角三角形的性质，得，DB=DC=DA，∠DBG=∠DCH=45°，BD⊥AC，由∠ADG+∠HDC=90°，∠BDG+∠ADG=90°，推出∠BDG=∠HDC后，结合DB=DC，即可推出△BDG≌△CDH，根据全等三角形的性质可得BG=CH；
（2）首先根据题意求出S_△ABC=8cm²，然后通过求证△BDH≌△ADG，由（1）的结论，即可推出S_{四边形DGBH}=S_△BDH+S_△GDB=S_△ABD，再根据DA=DC=DB，BD⊥AC，推出S_△ABD=S_△ABC，即得，S_{四边形DGBH}=S_△ABC=4cm²，便可确定在旋转过程中四边形GBHD的面积不变；
（3）连接BD后，首先通过余角的性质推出∠BDG=∠CDH，再根据∠DBC=∠BCD=45°，推出∠DBG=∠DCH=135°，即可推出△DBG和△DCH，便可得BG=CH．
点评：本题主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质、三角形的面积公式、余角的性质等知识点，关键在于根据图形正确的画出辅助线，利用相关的性质定理求证三角形全等．