Question

已知抛物线y=ax²+bx+c的图象经过点（1，2），且a-b+c＜0如图所示，则下列结论：
①abc＞0；②a+b+c=2；③b²-4ac＜0；④a+c＜1；⑤b＞1．
其中正确结论的个数是 （　　）

A．2个

B．3个

C．4个

D．5个

Answer 1

分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答：解：①∵根据图示知，抛物线开口方向向上，∴a＞0．
又∵对称轴x=-

b

2a

＜0，∴b＞0．
∵抛物线与y轴交与负半轴，∴c＜0，
∴abc＜0．
故①错误；
②∵抛物线y=ax²+bx+c的图象经过点（1，2），
∴2=a×1²+b+c=a+b+c，即a+b+c=2．
故②正确；
③∵抛物线与x轴有两不同的交点，
∴△=b²-4ac＞0．
故③错误；
④∵a-b+c＜0，
∴a+c＜b，
∴2a+2c＜a+b+c，
∵a+b+c=2，
∴a+c＜1．
故④正确；
⑤∵a+c＜1，
∴2-b＜1，
∴b＞1．
故⑤正确；
综上所述，正确的结论是：②④⑤，共有3个．
故选B．

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．