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    课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

    如图，△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．

    小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE＝AD，再连结BE(或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD)，把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．

    感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．

    (2)问题解决：

    受到(1)的启发，请你证明下面命题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连结EF．

    ①求证：BE＋CF＞EF

    ②若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明．

    (3)问题拓展：

    如图，在四边形ABDC中，∠B＋∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连结EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．

    答案：
    解析：

    　　证明：①延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG．

    　　(或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD)

    　　∴CF＝BG　DF＝DG

    　　∵DE⊥DF

    　　∴EF＝EG

    　　在△BEG中，BE＋BG＞EG；即BE＋CF＞EF(4分)

    　　②若∠A＝90°则∠EBC＋∠FCB＝90°

    　　由①知∠FCD＝∠DBG

    　　EF＝EG

    　　∴∠EBC＋∠DBG＝90°即∠EBG＝90°

    　　∴在Rt△EBG中，BE2＋BG2＝EG2

    　　∴BE2＋CF2＝EF2(3分)

    　　(2)将△DCF绕点D逆时针旋转120°得到△DBG.

    　　∵∠C＋∠ABD＝180°　∠4＝∠C

    　　∴∠4＋∠ABD＝180°

    　　∴点E、B、G在同一直线上

    　　∵∠3＝∠1，∠BDC＝120°，∠EDF＝60°

    　　∴∠1＋∠2＝60°故∠2＋∠3＝60°即∠EDG＝60°

    　　∴∠EDF＝∠EDG＝60°

    　　∵DE＝DE，DF＝DG

    　　∴△DEG≌△DEF

    　　∴EF＝EG＝BE＋BG，即EF＝BE＋CF(4分)


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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    22、阅读理解：
    课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
    如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．
    小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
    感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
    （1）问题解决：
    受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
    ①求证：BE+CF＞EF；
    ②若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明；
    （2）问题拓展：
    如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，己知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，∠B与∠D互补，求证：AB+AD=
    		3
    AC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．
    （1）特殊情况入手添加条件：“∠B=∠D”，如图2，可证AB+AD=
    		3
    AC；（请你完成此证明）
    （2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    31、课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
    （1）如图1，在△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．
    小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
    [感悟]解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
    （2）解决问题：受到（1）的启发，请你证明下列命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
    求证：BE+CF＞EF，若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    在课外兴趣小组活动时，刘老师给出了如下问题：
    如图（1），已知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，∠B与∠D互补，求证：AB+AD=
    		3
    AC．
    小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．
    （1）从特殊情况入手，添加条件“∠B=∠D”，如图（2），可证：AB+AD=
    		3
    AC．请你完成此证明．
    （2）类比（1）的问题的解决方法，在图（1）证明AB+AD=
    		3
    AC．

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    【阅读理解】
    课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

    如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考：
    （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是
    B
    B
    ．
    A．SSS      B．SAS      C．AAS        D．HL
    （2）求得AD的取值范围是
    C
    C
    ．
    A．6＜AD＜8   B．6≤AD≤8  C．1＜AD＜7  D．1≤AD≤7
    【感悟】
    解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
    【问题解决】
    （3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF． 求证：AC=BF．

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