Question

【题目】已知点和点是双曲线上两点，点的坐标为，如果该双曲线上一点使得以、、、为顶点的四边形是梯形，则点的坐标为__________．

Answer 1

【答案】，，．

【解析】

根据已知条件先求出，，，再对梯形的底边进行分类讨论：当梯形以为底时，不合题意；当梯形以为底时，求得；当梯形以为底时，求得、．

解：∵点和点是双曲线上两点

∴，解得：

∴，

如图所示，连接，，，过作轴，交轴于点；

∴，

∴在中，．

∴

①当梯形以为底时，由于过点且平行于的直线与双曲线只有一个交点，不符合题意．

②当梯形以为底时，过作的平行线，交双曲线与点．

过作于，设

∵，

∴

∴

∴

将坐标代入双曲线解析式：

解得或（舍）

所以，此时，满足要求

③当梯形以为底时，过作的平行线，与双曲线第一象限交于点，第三象限交于点．如图，过作轴交轴于点，设

∵

∴

∴

∴

∴

∴

将坐标代入双曲线解析式：

解得：，或（舍）

所以，此时，满足要求；

同理可求得，此时，满足要求；

综⊥所述，坐标可为，，．

故答案是：，，．