Question

【题目】如图,在ABCD中,以点A为圆心,AB长为半径画弧交AD于点F,再分别以点B,F为圆心,大于BF的相同长为半径画弧,两弧交于点P;连接AP并延长交BC于点E,连接EF,则所得四边形ABEF是菱形.

(1)根据以上尺规作图的过程,求证:四边形ABEF是菱形;

(2)若菱形ABEF的周长为16,AE=,求∠C的大小.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）60°

【解析】(1)先证四边形ABEF是平行四边形，再根据AB=BE即可证明平行四边形ABEF是菱形；

(2)连接BF交AE于G，由菱形的性质得出AB、AG的长，再由勾股定理求出BG的长，即可证三角形ABF为等边三角形，最后求出∠C的度数.

证明：在△APB和△APF中,

∵AB=AF,BP=FP,AP=AP,

∴△APB≌△APF.

∴∠EAB=∠EAF.

∵AD∥BC,

∴∠EAF=∠AEB=∠EAB.

∴BE=AB=AF.

∵AF∥BE,

∴四边形ABEF是平行四边形.

∵AB=BE,

∴四边形ABEF是菱形.　

(2)解:如图,连接BF,交AE于G.

∵菱形ABEF的周长为16,AE=4,

∴AB=BE=EF=AF=4，AG=AE=2，∠BAF=2∠BAE，AE⊥BF，

在Rt△ABG中,GB===2,

∴BF=2BG=4.

∴AB=AF=BF=4.

∴△ABF是等边三角形.

∴∠BAF=60°.

∴∠C=∠BAF=60°.