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【题目】MON45°,点P在射线OM上,点AB在射线ON上(点B与点O在点A的两侧),且AB1,以点P为旋转中心,将线段AB逆时针旋转90°,得到线段CD(点C与点A对应,点D与点B对应).

1)如图,若OA1OP,依题意补全图形;

2)若OP,当线段AB在射线ON上运动时,线段CD与射线OM有公共点,求OA的取值范围;

3)一条线段上所有的点都在一个圆的圆内或圆上,称这个圆为这条线段的覆盖圆.若OA1,当点P在射线OM上运动时,以射线OM上一点Q为圆心作线段CD的覆盖圆,直接写出当线段CD的覆盖圆的直径取得最小值时OPOQ的长度.

【答案】(1)见解析;(2)1≤OA≤2;(3)OPOQ

【解析】

1)利用直角三角形的性质和旋转的性质确定点C和点D的位置,连接即可得到线段CD

2)如图2(见解析),作ON于点E,作OM于点G,利用旋转的性质、三角形全等的判定定理推出,则有,从而可得点C和点D的位置,然后结合图形,分析线段CD与射线OM有公共点时,OA的最小值与最大值即可;

3)先确认当线段CD的覆盖圆的直径取得最小值时的直径,再利用直角三角形的性质和勾股定理求解即可.

1

由旋转性质可知:

是等腰直角三角形

D正好落在OM

因此,补全图形如图1所示;

2)如图2,作ON于点E,作OM于点G

连接PAPC

由旋转的性质得:

则点C在射线EF

同理可证:点D也在射线EF

因此,当线段AB在射线ON上从左向右平移时,线段CD在射线EF上从下向上平移,且

当点D与点G重合时,OA取得最小值,由(1)可知,最小值为

如图3,当点C与点G重合时,OA取得最大值,最大值为

综上,OA的取值范围是

3)如图4.作PEOMON于点E,作EFONOM于点Q

当线段CD的覆盖圆的直径取得最小值时,直径为

则圆心点QCD的中点,

由(2)可知

中,

中,

,解得

的长度为的长度为.

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