【题目】∠MON=45°,点P在射线OM上,点A,B在射线ON上(点B与点O在点A的两侧),且AB=1,以点P为旋转中心,将线段AB逆时针旋转90°,得到线段CD(点C与点A对应,点D与点B对应).
(1)如图,若OA=1,OP,依题意补全图形;
(2)若OP,当线段AB在射线ON上运动时,线段CD与射线OM有公共点,求OA的取值范围;
(3)一条线段上所有的点都在一个圆的圆内或圆上,称这个圆为这条线段的覆盖圆.若OA=1,当点P在射线OM上运动时,以射线OM上一点Q为圆心作线段CD的覆盖圆,直接写出当线段CD的覆盖圆的直径取得最小值时OP和OQ的长度.
【答案】(1)见解析;(2)1≤OA≤2;(3)OP,OQ
【解析】
(1)利用直角三角形的性质和旋转的性质确定点C和点D的位置,连接即可得到线段CD;
(2)如图2(见解析),作交ON于点E,作交OM于点G,利用旋转的性质、三角形全等的判定定理推出,则有,从而可得点C和点D的位置,然后结合图形,分析线段CD与射线OM有公共点时,OA的最小值与最大值即可;
(3)先确认当线段CD的覆盖圆的直径取得最小值时的直径,再利用直角三角形的性质和勾股定理求解即可.
(1)
由旋转性质可知:
是等腰直角三角形
∴D正好落在OM上
因此,补全图形如图1所示;
(2)如图2,作交ON于点E,作交OM于点G
连接PA、PC
由旋转的性质得:
则点C在射线EF上
同理可证:点D也在射线EF上
因此,当线段AB在射线ON上从左向右平移时,线段CD在射线EF上从下向上平移,且
当点D与点G重合时,OA取得最小值,由(1)可知,最小值为
如图3,当点C与点G重合时,OA取得最大值,最大值为
综上,OA的取值范围是;
(3)如图4.作PE⊥OM交ON于点E,作EF⊥ON交OM于点Q
当线段CD的覆盖圆的直径取得最小值时,直径为
则圆心点Q为CD的中点,
由(2)可知
在中,
则
在中,
则,解得
故的长度为,的长度为.
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【题目】“2018西安国际马拉松”于2018年10月20日在陕西西安举行,该赛事共有三项:.“马拉松”、.“半程马拉松”、.“迷你马拉松”小明和小刚有幸参与了该项赛事的志愿者服务工作,组委会随机将志愿者分配到三个项目组.
(1)小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为________.
(2)利用列表或树状图求小明和小刚被分配到不同项目组的概率________.
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【题目】已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别交于点A(﹣3,0),B(1,0)交于点C,抛物线的顶点为点D.
(1)抛物线的表达式及顶点D的坐标.
(2)若点F是线段AD上一个动点,
①如图1,当FC+FO的值最小时,求点F的坐标;
②如图2,以点A,F,O为顶点的三角形能否与△ABC相似?若能,求出点F的坐标;若不能,请说明理由.
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【题目】如图,△ABC内接于以AB为直径的⊙O,过点A作⊙O的切线,与BC的延长线相交于点D,在CB上截取CE=CD,连接AE并延长,交⊙O于点F,连接CF.
(1)求证:AC=CF;
(2)若AB=4,sinB,求EF的长.
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【题目】在不透明的箱子里放有4个乒乓球,每个乒乓球上分别写有数字1、2、3、4,从箱中摸出一个球记下数字后放回箱中,摇匀后再摸出一个球记下数字.若将第一次摸出的球上数字记为点的横坐标,第二次摸出的球上数字记为点的纵坐标.
(1)请问两次摸球后所有可能的点的坐标有几个,并用列表法或树状图法说明;
(2)求这样的点落在以M(2,2)为圆心,半径为2的圆内的概率.
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【题目】如图,在△ABC中,AC=BC=4,∠C=90°,点D在BC上,且CD=3DB,将△ABC折叠,使点A与点D重合,EF为折痕,则tan∠BED的值是_____.
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【题目】“农民也能报销医疗费了!”这是国家推行新型农村医疗合作的成果.村民只要每人每年交10元钱,就可以加入合作医疗,每年先由自己支付医疗费,年终时可得到按一定比例返回的返回款,这一举措极大地增强了农民抵御大病风险的能力.小华与同学随机调查了他们乡的一些农民,根据收集到的数据绘制了以下的统计图.
根据以上信息,解答以下问题:
(1)本次调查了______名村民,被调查的村民中,有______人参加合作医疗得到了返回款?
(2)若该乡有10000名村民,请你估计有多少人参加了合作医疗?
(3)要使两年后参加合作医疗的人数增加到9680人,假设这两年的年平均增长率相同,求年平均增长率.
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