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(2010•楚雄州)已知:如图,⊙A与y轴交于C、D两点,圆心A的坐标为(1,0),⊙A的半径为,过点C作⊙A的切线交x轴于点B(-4,0).

(1)求切线BC的解析式;
(2)若点P是第一象限内⊙A上的一点,过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G,且∠CGP=120°,求点G的坐标;
(3)向左移动⊙A(圆心A始终保持在x轴上),与直线BC交于E、F,在移动过程中是否存在点A,使△AEF是直角三角形?若存在,求出点A的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】分析:(1)连接AC,由于BC与⊙A相切,则AC⊥BC,在Rt△ABC中,OC⊥AB,根据射影定理即可求得OC的长,从而得到C点的坐标,进而用待定系数法求出直线BC的解析式.
(2)可设出G点的坐标(设横坐标,利用直线BC的解析式表示纵坐标),连接AP、AG;由于GC、GP都是⊙A的切线,那么∠AGC=∠ABP=60°,在Rt△AGC中,AC的长易求得,根据∠AGC的度数,即可求得AG的长;过G作GH⊥x轴于H,在Rt△GAH中,可根据G点的坐标表示出AH、GH的长,进而由勾股定理求得G点的坐标.
(3)若⊙A与直线交于点E、F,则AE=AF,如果△AEF是直角三角形,则∠EAF必为直角,那么△EAF是以A为顶点的等腰直角三角形,因此可分作两种情况考虑:
①点A在B点右侧时,可过A作直线BC的垂线,设垂足为M,在(2)题已经求得了⊙A的半径,即可得到AM的长,易证得△BAM∽△BCO,通过相似三角形所得比例线段即可求得AB的长,进而可得到OA的长,从而得出A点的坐标;
②点A在B点左侧时,方法同①.
解答:解:(1)如图1所示,连接AC,则AC=
在Rt△AOC中,AC=,OA=1,则OC=2,
∴点C的坐标为(0,2);
设切线BC的解析式为y=kx+b,它过点C(0,2),B(-4,0),
则有,解之得
.(4分)

(2)如图1所示,设点G的坐标为(a,c),过点G作GH⊥x轴,垂足为H点,
则OH=a,GH=c=a+2,(5分)
连接AP,AG;
因为AC=AP,AG=AG,所以Rt△ACG≌Rt△APG(HL),
所以∠AGC=×120°=60°,
在Rt△ACG中,∠AGC=60°,AC=
∴sin60°=,∴AG=;(6分)
在Rt△AGH中,AH=OH-OA=a-1,GH=a+2,
∵AH2+GH2=AG2
∴(a-1)2+=
解之得:a1=,a2=-(舍去);(7分)
∴点G的坐标为(+2).(8分)

(3)如图2所示,在移动过程中,存在点A,使△AEF为直角三角形.(9分)
要使△AEF为直角三角形,∵AE=AF,
∴∠AEF=∠AFE≠90°,∴只能是∠EAF=90°;
当圆心A在点B的右侧时,过点A作AM⊥BC,垂足为点M,
在Rt△AEF中,AE=AF=
则EF=,AM=EF=
在Rt△OBC中,OC=2,OB=4,则BC=2
∵∠BOC=∠BMA=90°,∠OBC=∠OBM,
∴△BOC∽△BMA,
=
∴AB=
∴OA=OB-AB=4-
∴点A的坐标为(-4+,0);(11分)
当圆心A在点B的左侧时,设圆心为A′,过点A′作A′M′⊥BC于点M′,可得:
△A′M′B≌△AMB,A′B=AB=
∴OA′=OB+A′B=4+
∴点A′的坐标为(-4-,0);
综上所述,点A的坐标为(-4+,0)或(-4-,0).(13分)
点评:此题考查的知识点有:一次函数解析式的确定、勾股定理、切线的性质、切线长定理、全等三角形及相似三角形的判定和性质等;需要注意的是(3)题中,一定要考虑到点A在B点左侧时的情况,以免漏解.
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