如图.已知四边形ABCD为矩形.O为坐标原点.点A的坐标为.点P是线段BC上一动点.已知点D是直线AE上位于第一象限的任意一点.直线AE与x轴交于点E,(1)求直线AE的关系式,(2)连接PD.当AD=AP.∠DAP=90°时.求图象经过点D的反比例函数的关系式,(3)若将直线AD向右平移6个单位后.在该直线上是否存在一点D.使△APD成为等腰直角三角形?若存在.请直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，已知四边形ABCD为矩形，O为坐标原点，点A的坐标为（0，6），点C的坐标为（8，0），点P是线段BC上一动点，已知点D是直线AE上位于第一象限的任意一点，直线AE与x轴交于点E（-3，0）；
（1）求直线AE的关系式；
（2）连接PD，当AD=AP、∠DAP=90°时，求图象经过点D的反比例函数的关系式；
（3）若将直线AD向右平移6个单位后，在该直线上是否存在一点D，使△APD成为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由．

分析（1）设出直线解析式后将点A和点E的坐标代入组成方程组，解答即可；
（2）如图1所示，作DE⊥y轴于E点，作PF⊥y轴于F点，可得∠DEA=∠AFP=90°，再由三角形ADP为等腰直角三角形，得到AD=AP，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用AAS得到三角形ADE与三角形APF全等，由全等三角形的对应边相等得到AE=PF，由AE+OA求出OE的长，即为D的纵坐标，代入直线解析式求出D的横坐标，即可确定出D的坐标；
（3）存在点D，使△APD是等腰直角三角形，理由为：利用平移规律求出y=2x+6向右平移后的解析式，分三种情况考虑：如图2所示，当∠ADP=90°时，AD=PD，设D点坐标为（x，2x-6），利用三角形全等得到x+6-（2x-6）=8，得x=4，易得D点坐标；如图3所示，当∠APD=90°时，AP=PD，设点P的坐标为（8，m），表示出D点坐标为（14-m，m+8），列出关于m的方程，求出m的值，即可确定出D点坐标；如图4所示，当∠ADP=90°时，AD=PD时，同理求出D的坐标，综上，得到所有满足题意D得坐标．

解答解：（1）设直线AE：y=k₁x+b，
∵点A（0，6），E（-3，0）在直线AE上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{-3{k}_{1}+b=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{{k}_{1}=2}\end{array}\right.$，
∴直线AE的解析式是：y=2x+6，
（2）如图1所示，作DE⊥y轴于E点，作PF⊥y轴于F点，可得∠DEA=∠AFP=90°，
∵△DAP为等腰直角三角形，
∴AD=AP，∠DAP=90°，
∴∠EAD+∠DAB=90°，∠DAB+∠BAP=90°，
∴∠EAD=∠BAP，
∵AB∥PF，
∴∠BAP=∠FPA，
∴∠EAD=∠FPA，
在△ADE和△PAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEA=∠AFP=90°}\\{∠EAD=∠FPA}\\{AD=AP}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△PAF（AAS），
∴AE=PF=8，OE=OA+AE=14，
设点D的横坐标为x，由14=2x+6，得x=4，
∴点D的坐标是（4，14）；
设过点D的反比例函数的关系式为：$y=\frac{{k}_{2}}{x}$，则k₂=14×4=56，
∴反比例函数的关系式为：$y=\frac{56}{x}$；
（3）存在点D，使△APD是等腰直角三角形，理由为：
直线y=2x+6向右平移6个单位后的解析式为y=2（x-6）+6=2x-6，
如图2所示，当∠ADP=90°时，AD=PD，易得D点坐标（4，2）；
如图3所示，当∠APD=90°时，AP=PD，设点P的坐标为（8，m），
则D点坐标为（14-m，m+8），由m+8=2（14-m）-6，得m=$\frac{14}{3}$，
∴D点坐标（$\frac{28}{3}$，$\frac{38}{3}$）；
如图4所示，当∠ADP=90°时，AD=PD时，同理可求得D点坐标（$\frac{20}{3}$，$\frac{22}{3}$），
综上，符合条件的点D存在，坐标分别为（4，2），（$\frac{28}{3}$，$\frac{38}{3}$），（$\frac{20}{3}$，$\frac{22}{3}$）．

点评此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平移规律，利用了分类讨论及数形结合的思想，本题第二问注意考虑问题要全面，做到不重不漏．

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