Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，AF平分∠BAE交BC于点F，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG，则CF的长为____.

Answer 1

【答案】6﹣2.

【解析】

作FM⊥AD于M, FN⊥AG于N,如图，易得四边形CFMD为矩形，则FM=4,利用勾股定理计算出AE=,再根据旋转的性质得到AG=AE=2., BG=DE=2，∠1=∠4，∠GAE=90°，∠ABG=∠D=90°，于是可判断点G、 C、B三点共线，接着证明FA平分∠GAD得到FN=FM=4,然后利用等面积法计算出GF，从而计算CG-GF就可得到CF的长.

解:作FM⊥AD于M, FN⊥AG于N,如图，

易得四边形CFMD为矩形，则FM=4,

∵正方形ABCD的边长为4，E是CD的中点，

∴DE=2,

∴AE=

∵△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG

∴AG=AE=，BG=DE=2，∠1=∠4,∠GAE=90°，∠ABG=∠D=90° ,

而∠ABC=90°，

∴点G、C、B三点共线.

∴AF平分∠BAE交BC于点F,

∴∠2=∠3,

∴∠1+∠2=∠3+∠4

∴∠GAF=∠FAD,

∴FA平分∠GAD,

∴FN=FM=4,

∴

∴GF=

.CF=CG-GF=4+2-=6-