Question

17．如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AG于点O．则下列结论①△ABF≌△CAE，②∠AHC=120°，③HD平分∠AHC，④△BCE≌△COD中，正确的有（　　）

• A． ①②④
• B． ①③④
• C． ②③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 由菱形ABCD中，AB=AC，易证得△ABC是等边三角形，则可得∠B=∠EAC=60°，由SAS即可证得△ABF≌△CAE；则可得∠BAF=∠ACE，利用三角形外角的性质，即可求得∠AHC=120°；过点D作DG⊥CH于点G，作DK⊥FA交FA的延长线于点K，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF=∠ACE，然后求出∠AHC=120°，再根据四边形的内角和定理求出∠HAD+∠HCD=180°，根据平角的定义求出∠HAD+∠KAD=180°，从而得到∠HCD=∠KAD，然后利用“角角边”证明△ADK和△CDG全等，根据全等三角形对应边相等可得DK=DG，然后利用到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可证明HD平分∠AHC；在HD上截取HK=AH，连接AK，易得点A，H，C，D四点共圆，则可证得△AHK是等边三角形，然后由AAS即可证得△AKD≌△AHC，易得∠DOC=∠BEC，进而可证明△BCE≌△COD．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵AB=AC，
∴AB=BC=AC，
即△ABC是等边三角形，
同理：△ADC是等边三角形
∴∠B=∠EAC=60°，
在△ABF和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=AE}\\{∠B=∠EAC}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CAE（SAS）；
故①正确；
∴∠BAF=∠ACE，
∵∠AEH=∠B+∠BCE，
∴∠AHC=∠BAF+∠AEH=∠BAF+∠B+∠BCE=∠B+∠ACE+∠BCE=∠B+∠ACB=60°+60°=120°；
故②正确；
过点D作DG⊥CH于点G，作DK⊥FA交FA的延长线于点K，如图1，
∵△ABF≌△CAE，
∴∠BAF=∠ACE，
∵∠ACE+∠FCE=60°，
∴∠BAF+∠FCE=60°，
∴∠AHC=∠AFC+∠HCF=∠B+∠BAF+∠BCE=120°，
∵∠ADC=60°，
∴∠HAD+∠HCD=180°，
∵∠HAD+∠KAD=180°，
∴∠HCD=∠KAD，
在△ADK和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HCD=∠KAD}\\{∠DGC=∠AKD}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADK≌△CDG（AAS），
∴DK=DG，
∵DG⊥CH，DK⊥FA，
∴HD平分∠AHC，
故③正确；
在HD上截取HK′=AH，连接AK′，如图2，
∵∠AHC+∠ADC=120°+60°=180°，
∴点A，H，C，D四点共圆，
∴∠AHD=∠ACD=60°，∠ACH=∠ADH，
∴△AHK′是等边三角形，
∴AK′=AH，∠AK′H=60°，
∴∠AK′D=∠AHC=120°，
在△AK′D和△AHC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AK′D=∠AHC}\\{∠ADH=∠ACH}\\{AD=AC}\end{array}\right.$，
∴△AK′D≌△AHC（AAS），
∴∠ADK′=∠ACH，
∵△ABF≌△CAE，
∴∠BAF=∠ACH=∠ADK′，
∵∠BEC=∠BAC+∠ACH=60°+∠ACH，∠COD=∠CAD+∠ADK′=60°+∠ACH，
∴∠BEC=∠COD，
在△BCE和△COD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBC=∠DCO=60°}\\{∠BEC=∠COD}\\{BC=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△COD（AAS），
故④正确，
故选D．

点评 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，综合性较强，难度较大，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．