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7.如图,直线l1∥l2,⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B.点M和点N分别是l1和l2上的动点,MN沿l1和l2平移.⊙O的半径为1,∠1=60°.有下列结论:①MN=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$;②若MN与⊙O相切,则AM=$\sqrt{3}$;③若∠MON=90°,则MN与⊙O相切;④l1和l2的距离为2,其中正确的有(  )
A.4个B.3个C.2个D.1个.

分析 首先过点N作NC⊥AM于点C,直线l1∥l2,⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B,⊙O的半径为1,易求得MN=$\frac{CN}{sin60°}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$,l1和l2的距离为2;若∠MON=90°,连接NO并延长交MA于点C,易证得CO=NO,继而可得即O到MN的距离等于半径,可证得MN与⊙O相切;由题意可求得若MN与⊙O相切,则AM=$\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$.

解答 解:如图1,过点N作NC⊥AM于点C,
∵直线l1∥l2,⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B,⊙O的半径为1,
∴CN=AB=2,
∵∠1=60°,
∴MN=$\frac{CN}{sin60°}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$,
故①与④正确;
如图3,
若∠MON=90°,连接NO并延长交MA于点C,则△AOC≌△BON,
故CO=NO,△MON≌△MOM′,故MN上的高为1,即O到MN的距离等于半径.
故③正确;
如图2,∵MN是切线,⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B,
∴∠AMO=$\frac{1}{2}$∠1=30°,
∴AM=$\sqrt{3}$;
∵∠AM′O=60°,
∴AM′=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴若MN与⊙O相切,则AM=$\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$;
故②错误.
故选B.

点评 此题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数等知识.此题难度较大,注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用.

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