如图.已知△ABC中.∠B=90°.AB=16cm.BC=12cm.P.Q是△ABC边上的两个动点.其中点P从点A开始沿A→B方向运动.且速度为每秒1cm.点Q从点B开始沿B→C→A方向运动.且速度为每秒2cm.它们同时出发.设出发的时间为t秒．(1)出发4秒后.求PQ的长,(2)当点Q在边BC上运动时.出发几秒钟后.△PQB与△ABC相似?(3)当� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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16．如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=16cm，BC=12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．

（1）出发4秒后，求PQ的长；
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB与△ABC相似？
（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△APQ成为等腰三角形的运动时间．

分析（1）首先判定点Q的位置，求出BQ、BP利用勾股定理即可．
（2）分两种情形）①当PQ∥AC时，△PBQ∽△ABC，②当∠BPQ=∠C时，由∠B=∠B，得△BPQ∽△BCA，列出方程即可解决问题．
（3）分三种情形①如图1中，当PA=PQ时，作PM⊥AC于M，根据cosA=$\frac{AM}{AP}$=$\frac{AB}{AC}$，列出方程即可．②如图2中，当AP=AQ时，③如图3中，当QP=QA时，作QM⊥AB于M，
根据cosA=$\frac{AM}{AQ}$=$\frac{AB}{AC}$，列方程即可．

解答解：（1）t=4时，BQ=2×4=8＜12，此时Q在BC边上，AP=4×1=4，
在Rt△PBQ中，∵∠B=90°，BQ=8，BP=AB-AP=16-4=12，
∴PQ=$\sqrt{B{Q}^{2}+B{P}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+1{2}^{2}}$=4$\sqrt{13}$．

（2）①当PQ∥AC时，△PBQ∽△ABC，∴$\frac{PB}{AB}$=$\frac{BQ}{BC}$，
∴$\frac{16-t}{16}$=$\frac{2t}{12}$，
∴t=$\frac{48}{11}$，
②当∠BPQ=∠C时，
∵∠B=∠B，∴△BPQ∽△BCA，
∴$\frac{BP}{BC}$=$\frac{BQ}{BA}$，
∴$\frac{16-t}{12}$=$\frac{2t}{16}$，
∴t=$\frac{32}{5}$，
∴t=$\frac{48}{11}$秒或$\frac{32}{5}$秒时，△PQB与△ABC相似．

（3）①如图1中，当PA=PQ时，作PM⊥AC于M，

∵PA=PQ，PM⊥AQ，
∴AM=MQ．
∴cosA=$\frac{AM}{AP}$=$\frac{AB}{AC}$，
在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{B{C}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+1{6}^{2}}$=20，
∵AP=t，AM=MQ=$\frac{1}{2}$（32-2t）=16-t，
∴$\frac{16-t}{t}$=$\frac{4}{5}$，
∴t=$\frac{80}{9}$
②如图2中，当AP=AQ时，

t=32-2t，解得t=$\frac{32}{3}$，
③如图3中，当QP=QA时，作QM⊥AB于M，

∵cosA=$\frac{AM}{AQ}$=$\frac{AB}{AC}$，
∴$\frac{\frac{t}{2}}{32-2t}$=$\frac{4}{5}$，
∴t=$\frac{256}{21}$，
综上所述当t=$\frac{80}{9}$或$\frac{32}{3}$或$\frac{256}{21}$秒时，△APQ是等腰三角形．

点评本题考查相似三角形综合题、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会分类讨论，不能漏解，学会利用方程的首先思考问题，属于中考常考题型．

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