Question

已知关于x的方程kx²-（3k-1）x+2k-2=0．
（1）判断命题：“无论k为何值，方程总有两个实数根”的真假，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题请举一次反例．
（2）若k≠0，设方程的两个实数根分别为x₁，x₂（其中x₁＜x₂），当k的取值范围满足什么条件时，有x₁（1-x₂）+x₂＜成立？

Answer 1

解：（1）“无论x取何值，方程总有两个实数根”是假命题，
反例：当k=0时，原式可化为x-2=0，解得x=2，只有一个实数根．

（2）∵k≠0，
∴x₁+x₂=，x₁•x₂=，
又∵x₁（1-x₂）+x₂＜，
∴x₁+x₂-x₁•x₂=-==，
于是＜，
①当k＞0时，k²-2k-2＞0，解得k＜1-（舍去）或k＞1+；
②当k＜0时，k²-2k-2＞0，k取任意实数．
综上所述，k＞1+或k＜0．
分析：（1）由于k的取值范围不确定，可知kx²-（3k-1）x+2k-2=0可能为一元二次方程，也可能为一元一次方程，当其为一元一次方程时，只有一个实数根．
（2）由于k≠0，可知方程为一元二次方程，先求出两根之和与两根之积的表达式，再代入x₁（1-x₂）+x₂＜解答．
点评：本题考查了根的判别式、根与系数的关系、命题与定理、反证法，综合性较强．