Question

已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的两个实数根．
（1）求证：无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根．
（2）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）要证明无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根，就是证明△＞0，而△=（2k+3）²-4（k²+3k+2）=1，所以△＞0；
（2）要得到△ABC是以BC为斜边的直角三角形，即要有BC²=AC²+AC²，然后根据根与系数的关系用k表示AC²+AC²，得到k的方程，解方程，再根据题意取舍即可．
解答：（1）证明：∵△=（2k+3）²-4（k²+3k+2）=1，
∴△＞0，
∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2﹚解：当△ABC是以BC为斜边的直角三角形时，有AB²+AC²=BC²
又∵BC=5，两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的两个实数根．
∴AB²+AC²=25，AB+AC=2k+3，AB•AC=k²+3k+2，
由（AB+AC）²-2AB•AC=25
∴（2k+3）²-2•（k²+3k+2）=25
∴k²+3k-10=0，（k-2）（k+5）=0，
∴k₁=2或k₂=-5
又∵AB+AC=2k+3＞0
∴k₂=-5舍去
∴k=2．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了勾股定理的逆定理和一元二次方程的解法．