Question

已知两函数：反比例函数和二次函数y=x²+x+a．
（1）若两个函数的图象都经过点（2，2）．
①求两函数的表达式；
②证明反比例函数的图象经过二次函数图象的顶点．
（2）若二次函数y=x²+x+a的图象与x轴有两个不同的交点，是否存在实数a，使方程x²+x+a=0的两个实数根的倒数和等于-1？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）①解：根据题意，把x=2，y=2分别代入两个函数的表达式，
由2=得k=4，
所以反比例函数为，
由2=1+2+a得a=-1，
所以二次函数为y=x²+x-1，
答：两函数的表达式分别是，y=x²+x-1．

②证明：由y=x²+x-1=知，
二次函数图象的顶点坐标为（-2，-2），
又当x=-2时，y=，
所以反比例函数的图象经过二次函数图象的顶点．

（2）解：不存在符合条件的a的值，
理由：根据题意，由△=1-4×a＞0得a＜1，
∴a的取值范围是a＜1，
设方程x²+x+a=0的两根分别为x₁、x₂，
由根与系数关系有：
x₁+x₂=-4，x₁•x₂=4a，
又，
由，
得a=1这与a＜1不符，
∴不存在符合条件的a的值．
答：不存在
分析：（1）①把x=2，y=2分别代入两个函数的表达式，就能求出k和a的值，即可得到两函数的表达式；②先求出二次函数图象的顶点坐标，把顶点坐标代入反比例函数的解析式，看两边是否相等即可；
（2）不存在符合条件的a的值，理由是先根据根的判别式求出a的范围，设方程x²+x+a=0的两根分别为x₁、x₂，根据根与系数关系有：x₁+x₂=-4，x₁•x₂=4a，求出+的值即可求出a=1，与求出的a的取值范围a＜1不符，即可判断答案．
点评：本题主要考查对二次函数的性质，解一元一次方程，根的判别式，根与系数的关系，用待定系数法求反比例函数、二次函数的解析式等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，题型较好，综合性强．