Question

如图，一条抛物线经过原点，且顶点B的坐标（1，-1）．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设该抛物线与x轴正半轴的交点为A，求证：△OBA为等腰直角三角形；
（3）设该抛物线的对称轴与x轴的交点为C，请你在抛物线位于x轴上方的图象上求两点E、F，使△ECF为等腰直角三角形，且∠ECF=90°．

Answer 1

【答案】分析：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-1）²-1，将O（0，0）点坐标代入抛物线解析式即可；
（2）先求出A点坐标，再根据勾股定理OB²+AB²=OA²即可证明△OBA为等腰直角三角形；
（3）过C作CE∥BO，CF∥AB，找出等腰直角三角形△ECF，再根据已知条件取出E、F两点坐标．
解答：（1）解：由题意，设抛物线的解析式为y=a（x-1）²-1，
则0=a（0-1）²-1，
∴a=1．（2分）
∴y=（x-1）²-1，
即y=x²-2x．（3分）

（2）证明：当y=0时，x²-2x=0解得x=0或x=2．
∴A（2，0）（4分）
又B（1，-1），O（0，0），
∴OB²=2，AB²=2，OA²=4．
∴OB²+AB²=OA²
∴∠OBA=90°，且OB=BA．
∴△OBA为等腰直角三角形．（6分）

（3）解：如图，过C作CE∥BO，CF∥AB，分
别交抛物线于点E、F，过点F作FD⊥X轴于D，
则∠ECF=90°，EC=CF，FD=CD．
∴△ECF为等腰直角三角形．（7分）
令FD=m＞0，则CD=m，OD=1+m
∴F（1+m，m）（8分）
∴m=（1+m）²-2（1+m），
即m²-m-1=0．解得m=
∵m＞0，
∴m=．
∴F（）．
∵点E、F关于直线x=1对称，
∴E=（）．（10分）
点评：本题是二次函数的综合题，题中涉及等腰直角三角形的证明和性质等知识点，解题时要注意数形结合数学思想的运用，是各地中考的热点和难点，同学们要加强训练，属于中档题．