Question

11．AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上不同于A，B的两点，∠ABD=2∠BAC，连接CD，过点C作CE⊥DB，垂足为E，直径AB与CE的延长线相交于F点．
（1）猜想CF与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；
（2）当BD=9，sin∠F=$\frac{3}{5}$时，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3=2∠1，由已知∠4=2∠1，得到∠4=∠3，则OC∥DB，再由CE⊥DB，得到OC⊥CF，根据切线的判定即可证明CF为⊙O的切线；
（2）连接AD．由圆周角定理得出∠D=90°，证出∠BAD=∠F，得出sin∠BAD=sin∠F=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{3}{5}$，求出AB=$\frac{5}{3}$BD=15，得出OB=OC=7.5，再求出OF=12.5，由勾股定理得出CF，再由平行线得出比例式$\frac{CE}{CF}=\frac{OB}{OF}$，即可求出CE的长．

解答 （1）解：CF为⊙O的切线；理由如下：
连接OC．如图1所示：
∵OA=OC，
∴∠1=∠2．
又∵∠3=∠1+∠2，
∴∠3=2∠1．
又∵∠4=2∠1，
∴∠4=∠3，
∴OC∥DB．
∵CE⊥DB，
∴OC⊥CF．
又∵OC为⊙O的半径，
∴CF为⊙O的切线；
（2）解：连接AD．如图2所示：
∵AB是直径，
∴∠D=90°，
∴CF∥AD，
∴∠BAD=∠F，
∴sin∠BAD=sin∠F=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
∴AB=$\frac{5}{3}$BD=15，
∴OB=OC=7.5，
∵OC⊥CF，
∴∠OCF=90°，
∴sin∠F=$\frac{OC}{OF}$=$\frac{3}{5}$，
解得：OF=12.5，
由勾股定理得：CF=$\sqrt{O{F}^{2}-O{C}^{2}}$=10，
∵OC∥DB，
∴$\frac{CE}{CF}=\frac{OB}{OF}$，
即$\frac{CE}{10}=\frac{7.5}{12.5}$，
解得：CE=6．

点评 本题考查了切线的判定、解直角三角形、勾股定理、平行线分线段成比例定理、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果．