Question

【题目】如图，在矩形中，，，点、分别为直线、上的动点，且，当为等腰三角形时，则的长为______.

Answer 1

【答案】1或7

【解析】

当P点在AB上，如图1，先根据等角的余角相等得到∠ADP=∠BPQ，则可证明Rt△ADP∽Rt△BPQ，利用相似比得到=1，则PB=AD=3，然后计算AB-PB即可．当P点在AB的延长线上时，如图2，同样方法得到Rt△ADP∽Rt△BPQ，利用相似比得到PB=AD=3，然后计算AB+PB即可．

解：当P点在边AB上，如图1，

∵四边形ABCD为矩形，

∴AD=BC=3，∠A=∠B=90°，

∵PD⊥PQ，

∴∠DPQ=90°，

∵∠APD+∠ADP=90°，∠APD+∠BPQ=90°，

∴∠ADP=∠BPQ，

∴Rt△ADP∽Rt△BPQ，

∴,

∴PB=AD=3，

∴AP=AB-PB=4-3=1．

当P点在AB的延长线上时，如图2，

同样方法得到Rt△ADP∽Rt△BPQ，

∴=1，

∴PB=AD=3，

∴AP=AB+PB=4+3=7．

综上所述，AP的长度为1或7．

故答案为1或7．

故答案为1或7．