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    已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=5，cos∠ABC=
    35
    ，点E是AB边的中点，点F是射线BC上的一动点，连接BD、DF．
    （1）如图1，当DF⊥BC时，求tan∠ABD；
    （2）如图2，当点F在BC的延长线上时，连接EF，交DC边于点G，设CF=m，试求线段DG（用含m的代数式表示）；
    （3）设M是边DC上一点，且5DM=8AE，连接AM，与对角线BD相交于点N，若△BDF∽△ADN，请求线段CF．
    分析：（1）先根据等底对等角，平行线的性质及三角函数的知识即可求出tan∠ABD；
    （2）过点E做EN⊥BC，过点G做GM⊥BC，过点A做AP⊥BC，过点D做DQ⊥BC，根据平行线的判定和相似三角形的性质即可求出线段DG；
    （3）过点A做AH⊥BC于点H，以HC为x轴，HA为y轴建立直角坐标系，过点M做MP⊥BC于点P，过点D做DQ⊥BC于点Q，根据相似三角形的性质结合三角形的面积公式即可求解．
    解答：解：（1）∵AB=AD，
    ∴∠ABD=∠ADB，
    ∵AD∥BC，
    ∴∠ADB=∠DBC，
    ∴∠ABD=∠DBC，
    tan∠ABD=tan（
    1
    2
    ∠ABC）=
    1-cos∠ABC
    1+cos∠ABC
    =
    1
    2
    ；

    （2）过点E做EN⊥BC，过点G做GM⊥BC，过点A做AP⊥BC，过点D做DQ⊥BC
    所以EN∥GM∥AP∥QD
    所以GM：EN=FM：FN，
    其中EN=
    1
    2
    AP=
    1
    2
    DQ，
    则2GM：DQ=FM：FN
    GM：DQ=CG：CD=CM：CQ
    则2CM：CQ=FM：FN=（FC+CM）：（BF-BN）=（m+CM）：（11+m-
    3
    2
    ）=2CM：CQ=2CM：3
    解得CM=
    3m
    16+2m
    ，
    CG：CD=CM：CQ  
    则（CD-DG）：CD=CM：CQ
    即（5-DG）：5=
    3m
    16+2m
    ：3，
    解得DG=
    5(16+m)
    16+2m
    ；

    （3）过点A做AH⊥BC于点H，以HC为x轴，HA为y轴建立直角坐标系过点M做MP⊥BC于点P，过点D做DQ⊥BC于点Q
    则CP：CQ=MP：DQ=CM：CD
    5DM=8AE=8×5÷2=20，DM=4，
    则CP：CQ=MP：DQ=（5-4）：5  
    则CP=
    3
    5
    ，MP=
    4
    5
    ，
    则点A为（0，4），点M为（
    37
    5
    ，
    4
    5
    ），点B为（-3，0），点D为（5，4）
    直线AM为y=-
    16
    37
    x+4，直线BD为y=
    1
    2
    x+
    3
    2
    ，
    两直线相交于点N，点N为（
    185
    69
    ，
    196
    69
    ）
    △AND中，底边AD=5，h=4-
    196
    69
    =
    80
    69
    ，
    S=0.5×5×
    80
    69
    =
    200
    69
    =S△BDF=0.5×4BF
    BF=
    100
    69
    ，
    CF=BC-BF=3+5+3-
    100
    69
    =
    659
    69
    ．
    点评：考查了相似形综合题，本题涉及的知识点有等腰三角形的性质，平行线的性质，三角函数，相似三角形的性质和三角形的面积，综合性较强，有一定的难度．
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    精英家教网已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在AB上，点F在DC上，且AD=a，BC=b．
    （1）如果点E、F分别为AB、DC的中点，如图．求证：EF∥BC，且EF=
    a+b
    2
    ；
    （2）如果
    AE
    EB
    =
    DF
    EC
    =
    m
    n
    ，如图，判断EF和BC是否平等，并用a、b、m、n的代数式表示EF．请证明你的结论．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E，F分别是AB和BC边上的点．
    （1）如图①，以EF为对称轴翻折梯形ABCD，使点B与点D重合，且DF⊥BC．若AD=4，BC=8，求梯形ABCD的面积S梯形ABCD的值；
    （2）如图②，连接EF并延长与DC的延长线交于点G，如果FG=k•EF（k为正数），试猜想BE与CG有何数量关系写出你的结论并证明之．
    精英家教网

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    精英家教网如图，已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=5，点E在AB上，且AE：EB=2：3，过点E作EF∥BC交CD于F，求EF的长？

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=3.5，sinB=
    45
    ，点E是AB边上一点，BE=3，点P是BC边上的一动点，连接EP，作∠EPF，使得∠EPF=∠B，射线PF与AD边交于点F，与CD的延长线交于点G，设BP=x，DF=y．
    （1）求BC的长；
    （2）试求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
    （3）连接EF，如果△PEF是等腰三角形，试求BP的长．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，点E、F分别是BC和DC的中点，连接AE、EF和BD，AE和BD相交于点G．
    （1）求证：四边形AECD是平行四边形；
    （2）求证：四边形EFDG是菱形．

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