Question

26、如图，在正方形ABCD中，如果点P是直线CD上一动点（不与点C、点D重合），连接PA，分别过B、D作BE⊥PA，DF⊥PA，垂足为E、F．
（1）问BE、DF、EF这三条线段之间有怎样的数量关系，请直接写出结论；
（2）请证明你（1）中的结论正确．

Answer 1

分析：（1）作出图形，由△BAE≌△ADF，可得BE=AF，AE=DF，因为EF=AF-AE，所以可知BE、DF、EF之间的等量关系；
（2）要证明EF=BE-DF，可以先证明△BAE≌△ADF，再由全等三角形的性质BE=AF，AE=DF和等量代换即可证明结论．

解答：（1）解：如图所示：
由已知得，△BAE≌△ADF，
所以，BE=AF，AE=DF，
∵EF=AF-AE
∴EF=BE-DF；

（2）证明：∵∠DAF+∠BAE=90°，BE⊥AP，DF⊥AP，
∴∠EBA=∠FAD，∠BAE=∠ADF．
∵ABCD为□，
∴BA=AD．
∵∠EBA=∠FAD，BA=AD，∠BAE=∠ADF，
∴由角边角定理可得：△BAE≌△ADF．
∴BE=AF，AE=DF．
∵EF=AF-AE，AF-AE=BE-DF，
∴EF=BE-DF．
由此可得第一问结论．

点评：本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定以及全等三角形的性质．