Question

2．如图所示，BD是⊙O的切线，AE是⊙O的直径，AD是一条非直径的弦，过点B作BC⊥AB，BC与AD的延长线相交于点C，
（1）若BE=$\frac{1}{2}$AE，求∠EAD的度数；
（2）求证：AC•AD=AB•AE；
（3）在（1）条件下，当BC=2时，求四边形BCDE的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OD，根据切线的性质得到∠BDO=90°，据已知条件得到OD=$\frac{1}{2}$OB，根据三角形的内角和得到∠BOD=60°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）连接DE，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；
（3）根据直角三角形的性质得到AB=2$\sqrt{3}$，由于BE=$\frac{1}{2}$AE，得到AE=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，DE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，根据三角形的面积公式即可得到结论．

解答 解：（1）连接OD，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠BDO=90°，
∵BE=$\frac{1}{2}$AE，AE是⊙O的直径，
∴OD=$\frac{1}{2}$OB，
∴∠OBD=30°，
∴∠BOD=60°，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∵∠A+∠ADO=60°，
∴∠EAD=30°；

（2）连接DE，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC=∠ADE=90°，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ACB，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$，
∴AC•AD=AB•AE；

（3）∵∠ABC=90°，∠A=30°，BC=2，
∴AB=2$\sqrt{3}$，
∵BE=$\frac{1}{2}$AE，
∴AE=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，DE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴AD=2，
∴四边形BCDE的面积=S_△ABC-S_△ADE=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2-$\frac{1}{2}$×2×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，含30°的角的直角三角形的性质，三角形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．