Question

【题目】我们约定，在平面直角坐标系中两条抛物线有且只有一个交点时，我们称这两条抛物线为“共点抛物线”，这个交点为“共点”．

（1）判断抛物线y＝x2与y＝﹣x2是“共点抛物线”吗？如果是，直接写出“共点”坐标；如果不是，说明理由；

（2）抛物线y＝x2﹣2x与y＝x2﹣2mx﹣3是“共点抛物线”，且“共点”在x轴上，求抛物线y＝x2﹣2mx﹣3的函数关系式；

（3）抛物线L1：y＝﹣x2+2x+1的图象如图所示，L1与L2：y＝﹣2x2+mx是“共点抛物线”；

①求m的值；

②点P是x轴负半轴上一点，设抛物线L1、L2的“共点”为Q，作点P关于点Q的对称点P′，以PP′为对角线作正方形PMP′N，当点M或点N落在抛物线L1上时，直接写出点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）是，（0，0）；（2）；（3）①m的值为0或4，②P（﹣3，0）或P（﹣5，0）或P（﹣13，0）.

【解析】

（1）解方程x2＝﹣x2得出x＝0

（2）因为两个抛物线的共点在x轴上，y＝0代入L1中求得交点坐标，分别代入L2中，求得m的值，获得抛物线的解析式．

（3）①两抛物线为共点抛物线时，只有一个交点，运用判别式为零，求出m的值

②设点P坐标（a，0），通过Q点坐标，获得P'点坐标，因为PP'为正方形，利用K型全等模型建立全等关系，从而求出点M和N的坐标，将M、N分别代入解析式，获得a的值，从而求出点P的坐标．

解：（1）是，（0，0）

x2＝﹣x2

∴x＝0

（2）令y＝x2﹣2x＝0

解得x1＝0，x2＝2

当x＝0时，﹣3≠0

∴（0，0）不是共点

当x＝2时，4﹣4m﹣3＝0

解得m＝

∴y＝

（3）①若两个抛物线是“共点抛物线”

则方程﹣x2+2x+1＝﹣2x2+mx有两个相等的实数根

即x2+（2﹣m）x+1＝0有两个相等的实数根

∴△＝（2﹣m）2﹣4＝0

解得m＝0或m＝4

∴m的值为0或4．

②P（﹣3，0）或P（﹣5，0）或P（﹣13，0）

设点P（a，0）

当m＝0时，Q（﹣1，﹣2）

∴P'（﹣2﹣a，﹣4）

∵PM＝MP'，∠A＝∠B，∠AMP＝∠BP'M

∴△APM≌△BMP'（AAS）

设M（x，y），N（a，b）

解得

解得

∴可得M（1，﹣3﹣a），N（﹣3，a﹣1）

分别代入L1解析式可得

a1＝﹣5，a2＝﹣13

当m＝4时，Q（1，2）

∴P'（2﹣a，4）

∵PM＝MP'，∠A＝∠B，∠AMP＝∠BP'M

∴△APM≌△BMP'（AAS）

设M（m，n）N（x，y）

解得

解得

∴可得M（﹣2，4﹣a），N（3，1+a）

分别代入L1解析式可得

a1＝﹣3，a2＝11（舍）

∴P（﹣3，0）或P（﹣5，0）或P（﹣13，0）