Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，D、D为⊙O上两点，CF⊥AB于点F，CE⊥AD交AD的延长线于点E，且CE=CF.

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）连接CD、CB，若AD=CD=a，求四边形ABCD面积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）连接OC，AC，可先证明AC平分∠BAE，结合圆的性质可证明OC∥AE，可得∠OCB＝90°，可证得结论；

（2）可先证得四边形AOCD为平行四边形，再证明△OCB为等边三角形，可求得CF、AB，利用梯形的面积公式可求得答案．

（1）证明：连接OC，AC．

∵CF⊥AB，CE⊥AD，且CE＝CF．

∴∠CAE＝∠CAB．

∵OC＝OA，

∴∠CAB＝∠OCA．

∴∠CAE＝∠OCA．

∴OC∥AE．

∴∠OCE＋∠AEC＝180°，

∵∠AEC＝90°，

∴∠OCE＝90°即OC⊥CE，

∵OC是⊙O的半径，点C为半径外端，

∴CE是⊙O的切线．

（2）解：∵AD＝CD，

∴∠DAC＝∠DCA＝∠CAB，

∴DC∥AB，

∵∠CAE＝∠OCA，

∴OC∥AD，

∴四边形AOCD是平行四边形，

∴OC＝AD＝a，AB＝2a，

∵∠CAE＝∠CAB，

∴CD＝CB＝a，

∴CB＝OC＝OB，

∴△OCB是等边三角形，

在Rt△CFB中，CF＝ ，

∴S四边形ABCD＝ （DC＋AB）CF＝