Question

19．如图所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且∠AGE=∠DAB．
（1）求线段CD的长；
（2）如果△AEG是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；
（3）如果点F在边CD上（不与点C、D重合），设AE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）作DH⊥AB于H，如图1，易得四边形BCDH为矩形，则DH=BC=12，CD=BH，再利用勾股定理计算出AH，从而得到BH和CD的长；
（2）分类讨论：当EA=EG时，则∠AGE=∠GAE，则判断G点与D点重合，即ED=EA，作EM⊥AD于M，如图1，则AM=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{15}{2}$，通过证明Rt△AME∽Rt△AHD，利用相似比可计算出此时的AE长；当GA=GE时，则∠AGE=∠AEG，可证明AE=AD=15，
（3）作DH⊥AB于H，如图2，则AH=9，HE=|x-9|，先利用勾股定理表示出DE=$\sqrt{1{2}^{2}+（x-9）^{2}}$，再证明△EAG∽△EDA，则利用相似比可表示出EG=$\frac{{x}^{2}}{\sqrt{1{2}^{2}+（x-9）^{2}}}$，则可表示出DG，然后证明△DGF∽△EGA，于是利用相似比可表示出x和y的关系．

解答 解：（1）作DH⊥AB于H，如图1，
易得四边形BCDH为矩形，
∴DH=BC=12，CD=BH，
在Rt△ADH中，AH=$\sqrt{A{D}^{2}-D{H}^{2}}$=$\sqrt{1{5}^{2}-1{2}^{2}}$=9，
∴BH=AB-AH=16-9=7，
∴CD=7；
（2）①EA=EG时，则∠AGE=∠GAE，
∵∠AGE=∠DAB，
∴∠GAE=∠DAB，
∴G点与D点重合，即ED=EA，
作EM⊥AD于M，如图1，则AM=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{15}{2}$，
∵∠MAE=∠HAD，
∴Rt△AME∽Rt△AHD，
∴AE：AD=AM：AH，即AE：15=$\frac{15}{2}$：9，解得AE=$\frac{25}{2}$；
②GA=GE时，则∠GAE=∠AEG，
∵∠AGE=∠DAB，
而∠AGE=∠ADG+∠DAG，∠DAB=∠GAE+∠DAG，
∴∠GAE=∠ADG，
∴∠AEG=∠ADG，
∴AE=AD=15．
综上所述，△AEC是以EG为腰的等腰三角形时，线段AE的长为$\frac{25}{2}$或15；
（3）作DH⊥AB于H，如图2，则AH=9，HE=|x-9|，
在Rt△HDE中，DE=$\sqrt{D{H}^{2}+H{E}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+（x-9）^{2}}$，
∵∠AGE=∠DAB，∠AEG=∠DEA，
∴△EAG∽△EDA，
∴EG：AE=AE：ED，即EG：x=x：$\sqrt{1{2}^{2}+（x-9）^{2}}$，
∴EG=$\frac{{x}^{2}}{\sqrt{1{2}^{2}+（x-9）^{2}}}$，
∴DG=DE-EG=$\sqrt{1{2}^{2}+（x-9）^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{\sqrt{1{2}^{2}+（x-9）^{2}}}$，
∵DF∥AE，
∴△DGF∽△EGA，
∴DF：AE=DG：EG，即y：x=（$\sqrt{1{2}^{2}+（x-9）^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{\sqrt{1{2}^{2}+（x-9）^{2}}}$）：$\frac{{x}^{2}}{\sqrt{1{2}^{2}+（x-9）^{2}}}$，
∴y=$\frac{225-18x}{x}$（0＜x＜$\frac{25}{2}$）．

点评 本题考查了四边形的综合题：熟练掌握梯形的性质等等腰三角形的性质；常把直角梯形化为一个直角三角形和一个矩形解决问题；会利用勾股定理和相似比计算线段的长；会运用分类讨论的思想解决数学问题．