Question

8．如图，已知，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线分别与边BC及边DC的延长线相交于点E，F，G，点G为EF中点，连接DG．
（1）如果AB=2，BC=4，求△ADG的面积；
（2）联结BD，求∠BDG的度数．

Answer 1

分析 （1）作辅助线，构建全等三角形，先根据角平分线和矩形的对边平行得：DF=AD=4，并求出CF=AB=2，证明△ABE≌△FCE，则AE=EF，由△AGH∽△AFD，列比例式求DG的长，代入面积公式可得结论；
（2）如图2，作辅助线，想办法证明△BGD是等腰直角三角形，就可以得出结论，关键是证明△BMG≌△DNG即可．

解答 解：（1）如图1，过G作GH⊥AD于H，交BC于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD=BC=4，DC=AB=2，
∴∠BAE=∠AFD，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAE=∠FAD，
∴∠AFD=∠FAD，
∴DF=AD=4，
∴CF=DF-DC=4-2=2，
∴AB=CF，
∵∠AEB=∠FEC，∠BAE=∠AFD，
∴△ABE≌△FCE，
∴AE=EF，
∵G是EF的中点，
∴EG=GF=$\frac{1}{2}$EF，
∴$\frac{AG}{AF}=\frac{3}{4}$，
∵GH∥DF，
∴△AGH∽△AFD，
∴$\frac{GH}{DF}=\frac{AG}{AF}$，
∴$\frac{GH}{4}=\frac{3}{4}$，
∴GH=3，
∴S_△ADG=$\frac{1}{2}$AD•GH=$\frac{1}{2}$×4×3=6；
（2）如图2，过G作GN⊥DF于N，连接CG，
∵∠GHD=∠HDN=∠GND=90°，
∴四边形HGND是矩形，
∴DH=GN，
在Rt△ECF中，∵∠F=45°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∵G是EF的中点，
∴CG⊥EF，
∵∠F=45°，
∴∠FCG=45°，
∴∠CGN=45°，
∴GN=NC，
∴四边形MGNC是正方形，
∴GM=GN=CN=FN，
∵BC=AD=FD，
∴BC-CM=DF-FN，
即BM=DN，
∵∠BMG=∠GNC=90°，
∴△BMG≌△DNG，
∴BG=DG，
∠BGM=∠DGN，
∴∠BGM+∠MGD=∠DGN+∠MGD，
即∠BGD=90°，
∴△BGD是等腰直角三角形，
∴∠BDG=45°．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定、矩形、正方形的性质和判定、角平分线的定义、等腰直角三角形的性质等知识，运用的知识点较多，熟练掌握这些知识点是关键，尤其是第二问，作辅助线，构建并证明△BMG≌△DNG是关键．