Question

如图，直角梯形OABC中，AB∥OC，O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点C在x轴正半轴上，点B坐标为（2，2

3

），∠BCO=60°，OH⊥BC于点H．动点P从点H出发，沿线段HO向点O运动，动点Q从点O出发，沿线段OA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．设点P运动的时间为t秒．
（1）比OH、0A的大小；
（2）若△OPQ的面积为S（平方单位）．求S与t之间的函数关系式．
（3）设PQ与OB交于点M．当△OPM为等腰三角形时，求（2）中S的值．

Answer 1

考点：四边形综合题,等腰三角形的性质,等边三角形的性质

专题：压轴题,分类讨论

分析：（1）根据题意得出△BOC为等边三角形，进而得出OH的长； 
（2）首先表示出P点坐标，进而利用S=

1

2

OQ•x_p求出即可；
（3）利用（i）若OM=PM，（ii）若OP=OM，（iii）若OP=PM，分别分析得出即可．

解答：解：（1）∵AB∥CO，
∴∠OAB=∠AOC=90°，
在Rt△OAB中，AB=2，AO=2

3

，
∴OB=4，∠ABO=60°，
∴∠BOC=60°而∠BCO=60°，
∴△BOC为等边三角形，
∴OH=OB•cos30°=4×

3

2

=2

3

，
故OH=AO=2

3

；

（2）∵OP=OH-PH=2

3

-t，
∴x_p=OP•cos30°=3-

3

2

t，y_p=OP•sin30°=

3

-

t

2

，
∴S=

1

2

OQ•x_p
=

1

2

t（3-

3

2

t）
=-

3

4

t²+

3

2

t  （0＜t＜2

3

），

（3）若△OPM为等腰三角形，则：
（i）如图1，若OM=PM，∠MPO=∠MOP=∠POC，
∴PQ∥OC，
∴OQ=y_p
即t=

3

-

t

2

，
解得：t=

2 3

3

，
此时S=-

3

4

×（

2 3

3

）²+

3

2

×

2 3

3

=

2 3

3

；
（ii）如图2，若OP=OM，∠OPM=∠OMP=75°，
∴∠OQP=45°，
过点P作PE⊥OA，垂足为E，则有：EQ=EP，
即t-（

3

-

1

2

t）=3-

3

2

t，
解得：t=2，
此时S=-

3

4

×2²+

3

2

×2=3-

3

；
（iii）若OP=PM，∠POM=∠PMO=∠AOB，
∴PQ∥OA，
此时Q在AB上，不满足题意．

点评：此题主要考查了四边形综合以及锐角三角函数关系和等边三角形、等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．