Question

14．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥CB，CE是∠ACD的角平分线，BF⊥CE，求证：EF=CF．

Answer 1

分析 先利用等角的余角相等得到∠1=∠A，再利用角平分线定义得到∠2=∠3，则利用三角形外角性质得∠4=∠3+∠A=∠2+∠1，即∠4=∠BCE，于是可判断BC=BE，然后根据等腰三角形的性质易得EF=CF．

解答 证明：∵CD⊥AB，
∴∠BDC=90°，
∴∠1+∠CBD=90°，
∵∠A+∠CBD=90°，
∴∠1=∠A，
∵CE是∠ACD的角平分线，
∴∠2=∠3，
∴∠4=∠3+∠A=∠2+∠1，即∠4=∠BCE，
∴BC=BE，
∵BF⊥CE，
∴EF=CF．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了等腰三角形的判定与性质．