Question

8．如图1，在正方形ABCD中，点M是BC边上一点，连结AM，过M作MN⊥AM交CD于E，并且AM=MN，连结AN交DC于点F，AG⊥MF，垂足为点G．

（1）求证：AG=AB；
（2）求证：△EFN∽△MFA；
（3）如图2，若点M是BC中点，求$\frac{DF}{FC}$的值．

Answer 1

分析 （1）先构造出全等三角形ABH和三角形ADF得出AF=AH，∠DAF=∠BAH，进而判断出△MAF≌△MAH，进而得出∠AMG=∠AMB，即可判断出△AMG≌△AMB即可得出结论；
（2）同（1）的方法判断出∠AFD=∠AFG，进而得出∠EFN=∠MFA，即可得出结论；
（3）设出BM=x，DF=y，由（1）（2）得出FG=y，MG=x，即可得出FG=x+y，CF=2x-y．利用勾股定理得出2x=3y即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，
延长CB至H，使BH=DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠ABM=∠ABH=∠∠AD=∠D=90°，AD=AB，
在△ADF和△ABH中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠D=∠ABH=90°}\\{DF=BH}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ABH，
∴AF=AH，∠DAF=∠BAH，
∴∠FAH=∠BAF+∠BAH=∠BAF+∠DAF=90°，
∵∠AMN=90°，AM=MN，
∴∠N=∠MAN=45°，
∴∠MAH=45°=∠MAF，
∵AF=AH，AM=AM，
∴△MAF≌△MAH，
∴∠AMF=∠AMH，
∵∠AGM=∠ABM=90°，AM=AM，
∴△AMG≌△AMB，
∴AG=AB，

（2）由（1）知，AG=AB=AD，AF=AF，
∴Rt△ADF≌Rt△AGF，
∴∠AFD=∠AFG，
∵∠AFD=∠EFN，
∴∠EFN=∠AFM，∵∠N=∠MAF，
∴△EFN∽△MFA，

（3）设正方形的边长为2x，
∴CD=BC=2x，
∵点M是BC中点，
∴CM=BM=x，
由（1）知，△AMG≌△AMB，
∴MG=BM=x，CD=2x
设DF=y，
∴CF=2x-y，由（2）知，△ADF≌△AGF，
∴FG=DF=y，
∴FM=FG+MG=y+x，
在Rt△CMF中，CF=2x-y，CM=x，FM=x+y，根据勾股定理得，CF²+CM²=FM²，
∴（2x-y）²+x²=（x+y）²，
∴2x=3y，
∴y=$\frac{2}{3}$x，
∴DF=$\frac{2}{3}$x，CF=2x-y=2x-$\frac{2}{3}$x=$\frac{4}{3}$x，
∴$\frac{DF}{FC}$=$\frac{\frac{2}{3}x}{\frac{4}{3}x}$=$\frac{1}{2}$．

点评 此题是相似形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，解（1）的关键是判断出∠AMB=∠AMB，解（2）的关键是判断出∠EFN=∠AFM，解（3）的关键是利用勾股定理找到2x=3y，是一道中等难度的中考常考题．