Question

16．如图，在△ABC中，AB=AC，分别以B、C为圆心，BC长为半径在BC下方画弧．设两弧交于点D，与AB、AC的延长线分别交于点E、F，连接AD、BD、CD
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若BC=6，∠BAC=50°，求弧DE、弧DF的长度之和（结果保留π）．

Answer 1

分析 （1）根据题意得出BD=CD=BC，由SSS证明△ABD≌△ACD，得出∠BAD=∠CAD即可；
（2）由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=65°，由等边三角形的性质得出∠DBC=∠DCB=60°，再由平角的定义求出∠DBE=∠DCF=55°，然后根据弧长公式求出$\widehat{DE}$、$\widehat{DF}$ 的长度，即可得出结果．

解答 （1）证明：根据题意得：BD=CD=BC，
在△ABD和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{BD=CD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACD（SSS）．
∴∠BAD=∠CAD，
即AD平分∠BAC；
（2）解：∵AB=AC，∠BAC=50°，
∴∠ABC=∠ACB=65°，
∵BD=CD=BC，
∴△BDC为等边三角形，
∴∠DBC=∠DCB=60°，
∴∠DBE=∠DCF=55°，
∵BC=6，∴BD=CD=6，
∴$\widehat{DE}$ 的长度=$\widehat{DF}$的长度=$\frac{55×π×6}{180}$=$\frac{11π}{6}$；
∴$\widehat{DE}$、$\widehat{DF}$ 的长度之和为$\frac{11π}{6}$+$\frac{11π}{6}$=$\frac{11π}{3}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、弧长的计算；熟练掌握全等三角形和等边三角形的判定与性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．