Question

如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF的两边相交于A、B和C、D，连结OA，此时有OA//PE。

（1）求证：AP=AO；
（2）若tan∠OPB=，求弦AB的长；
（3）若以图中已标明的点（即P、A、B、C、D、O）构造四边形，则能构成菱形的四个点为____，能构成等腰梯形的四个点为____或____或____。

Answer 1

解：（1）∵PG平分∠EPF， ∴∠DPO=∠BPO， ∵OA//PE， ∴∠DPO=∠POA， ∴∠BPO=∠POA， ∴PA=OA； （2）过点O作OH⊥AB于点H，则AH=HB=AB， ∵tan∠OPB=， ∴PH=2OH， 设OH=x，则PH=2x， 由（1）可知PA=OA=10， ∴AH=PH-PA=2x-10， ∵， ∴， 解得（不合题意，舍去），， ∴AH=6， ∴AB=2AH=12； （3）P、A、O、C；A、B、D、C或P、A、O、D或P、C、O、B。