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【题目】小红和小明在研究一个数学问题:已知AB∥CD,AB和CD都不经过点E,探索∠E与∠A,∠C的数量关系.
(1)发现:在图1中,小红和小明都发现:∠AEC=∠A+∠C; 小红是这样证明的:如图7过点E作EQ∥AB.
∴∠AEQ=∠A(
∵EQ∥AB,AB∥CD.
∴EQ∥CD(
∴∠CEQ=∠C
∴∠AEQ+∠CEQ=∠A+∠C 即∠AEC=∠A+∠C.
小明是这样证明的:如图7过点E作EQ∥AB∥CD.
∴∠AEQ=∠A,∠CEQ=∠C
∴∠AEQ+∠CEQ=∠A+∠C即∠AEC=∠A+∠C
请在上面证明过程的横线上,填写依据:
两人的证明过程中,完全正确的是
(2)尝试: ①在图2中,若∠A=110°,∠C=130°,则∠E的度数为
②在图3中,若∠A=20°,∠C=50°,则∠E的度数为
(3)探索: 装置图4中,探索∠E与∠A,∠C的数量关系,并说明理由.
(4)猜想: 如图5,∠B、∠D、∠E、∠F、∠G之间有什么关系?(直接写出结论)
(5)如图6,你可以得到什么结论?(直接写出结论)

【答案】
(1)两直线平行,内错角相等;平行于同一直线的两直线平行;小红的证法
(2)120°;30°
(3)解:∠E=∠A﹣∠C.

理由:延长EA,交CD于点F.

∵AB∥CD,

∴∠EFD=∠EAB

∵∠EFD=∠C+∠E

∴∠EAB=∠C+∠E

∴∠E=∠EAB﹣∠C.


(4)解:可通过过点E、F、G分别做AB的平行线,得到结论.

∠E+∠G=∠B+∠F+∠D


(5)解:同上道理一样,可得到结论:∠E1+∠E2+…+∠En=∠F1+∠F2+…∠Fn1+∠B+∠D.
【解析】解:(1.)∵小明的辅助线做不出来,所以两人的证明过程中,小红的完全正确;答案:两直线平行,内错角相等;平行于同一直线的两直线平行;小红的证法. (2.)①过点E作EF∥AB,
∵AB∥CD,
∴EF∥CD.∵EF∥AB,
∴∠A+∠AEF=180°,
∵∠A=110°,∴∠AEF=70°.
∵EF∥CD,
∴∠C+∠CEF=180°,
∵∠C=130°,∴∠CEF=50°.
②∵AB∥CD,
∴∠EOB=∠C=50°
∵∠EOB=∠A+∠E,
∵∠E=∠EOB﹣∠A=50°﹣20°=30°.
答案:120°,30°.

【考点精析】根据题目的已知条件,利用平行线的判定与性质的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握由角的相等或互补(数量关系)的条件,得到两条直线平行(位置关系)这是平行线的判定;由平行线(位置关系)得到有关角相等或互补(数量关系)的结论是平行线的性质.

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