Question

如图，正五边形的对角线AC和BE相交于点M．给出下列结论：
①直线DM是它的一条对称轴；②ME=AB；③四边形CDEM是菱形；④点M是AC的一个黄金分割点，即．其中正确的是________．

Answer 1

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分析：可由正五边形的性质和三角形的内角和定理得到∠AME=∠MAE=72°，则有△AEM是等腰三角形，ME=AE，同理△CMB也是等腰三角形，有CM=BC，而ED=CD=CM=EM，故有ED=CD=CM=EM；由于∠MBA=∠ACB=36°，∠MAB=∠BAC，则△ABM∽△ACB，得到AB：AC=AM：AB，即CM²=AC•AM，则点M是AC的黄金分割点．
解答：①、由于∠EAB=108°，AE=AB，则∠AEM=（180°-108°）÷2=36°，同理∠BAC=36°，所以∠AME=∠MAE=72°，则ME=AM=AB，正确；
②、由于AB=AE，AE=EM，故有ME=AB，正确；
③、由①知，△AEM是等腰三角形，有AE=EM，同理△CMB也是等腰三角形，有CM=BC，而ED=AE=CD=BC，且AE=EM，BC=CM，故有ED=CD=CM=EM，则四边形CDEM是菱形，正确；
④、由①知，△ABM∽△ACB和CM=BC=AB，有AB：AC=AM：AB，即CM²=AC•AM，则点M是AC的黄金分割点，正确．
故本题答案为：①②③④．
点评：此题综合运用了正五边形的性质、等腰三角形的判定、菱形的判定、相似三角形的性质和黄金分割点的概念．