Question

已知，点C在以AB为直径的半圆上，∠CAB的平分线AD交BC于点D，⊙O经过A、D两点，且圆心O在AB上．
（1）求证：BD是⊙O的切线．
（2）若，求⊙O的面积．

Answer 1

解：（1）证明：连接OD，

∵AB为直径，∴∠ACB=90°。
∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD。
∵AD平分∠CAB，∴∠OAD=∠CAD。
∴∠ODA=∠CAD。∴OD∥AC。
∴∠ODB=∠ACB=90°。
∴BD是⊙O的切线。
（2）∵，∴AB=4AC。
∵BC²=AB²﹣AC²，，∴15AC²=80，解得AC=。
∴AB=4。
设⊙O的半径为r，
∵OD∥AC，∴△BOD∽△BAC。∴，即。
解得：r=。
∴πr²=π•（）²=。
∴⊙O的面积为。

试题分析：（1）连接OD，求出∠CAD=∠OAD=∠ADO，推出OD∥AC，推出OD⊥CB，根据切线判定推出即可。
（2）根据勾股定理求出AC=，AB=4．设⊙O的半径为r，证△BOD∽△BAC，得出，代入求出r即可。