Question

如图，用两个边长均为1的正方形ABCD和DCEF拼成一个矩形ABEF，把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边AF的中点D重合，固定矩形ABEF，将直角三角尺绕点D按逆时针方向旋转．
（1）观察并证明：当直角三角尺的两直角边分别与矩形ABEF的两边BE、EF相交于点G、H时（如图甲），通过观察或测量BG与EH的长度，你能得到什么结论，并证明你的结论；
（2）操作：在旋转过程中，设直角三角尺的两直角边分别与射线BE、射线EF交于G、H（如图乙是旋转过程中的一种状态），DG交EH于O，设BG=x（x＞0）．
探究①：设直角三角尺与矩形ABEF重叠部分的面积为y，直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
探究②：在旋转过程中，∠DGE能否为30°？若能，设此时过点D有一直线分别与EF、EG交于M、N，该直线恰好平分△OEG的面积，求EM的长，若不能，请说明理由（注：）．

Answer 1

解：（1）BG=EH．
证明：∵∠GDC+∠CDH=∠CDH+∠FDH=90°，
∴∠GDC=∠FDH，
∵∠DCG=∠F=90°，CD=DF，
∴△DCG≌△DFH，
∴CG=FH，
∵BC=EF，
∴BG=EH．

（2）①当0＜x≤1时，y=1；
当1＜x≤2时，；
当x＞2时，；
②∠DGE能为30°，这时，，，
∴S_△OEG=，
设EM=m，EN=n，则S_△OEG，
∴①，
∵EM∥AD，
∴即②，
解由①、②组成的方程组，得m²+0.05m-0.05=0，
∴m₁=0.2，m₂=-0.25（舍），
∴EM=0.2．
分析：（1）BG=EH．根据已知条件和正方形的性质容易找到条件证明△DCG≌△DFH，再根据全等三角形的性质就可以证明了；
（2）①旋转过程分三种情况．当0＜x≤1时，当1＜x≤2时，当x＞2时，进行分析．
根据已知条件和勾股定理求出△OEG的面积，设EM=m，EN=n，根据面积公式和平行线的性质列方程组，解方程组就可以求出EM的长．
点评：此题是开放性试题，充分利用正方形，矩形和旋转的性质去探究图形变换的规律．