Question

6．如图，正方形ABCD，AB=4，M为AB的中点，ED=3AE，
（1）求ME的长；
（2）△EMC是直角三角形吗？为什么？

Answer 1

分析 （1）由已知可求得AM，AE的长，根据勾股定理可求出MN的长，
（2）△EMC是直角三角形，根据勾股定理可得MC，EC的长，根据勾股定理的逆定理可知三角形EMC是直角三角形．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4．
∵M是AB的中点，
∴AM=BM=2．
∵ED=3AE，
∴AE=$\frac{1}{4}$AD，DE=$\frac{3}{4}$AD，
∴AE=1，DE=3．
∵在Rt△AME中，满足AM²+AE²=ME²，且AM=2，AE=1，
∴ME=$\sqrt{5}$；
（2）△EMC是直角三角形，理由如下：
由（1）可得：MC=$\sqrt{20}$，EC=5．
∵ME²+MC²=（$\sqrt{20}$）²+（$\sqrt{5}$）²=25，EC²=5²=25，
∴ME²+MC²=EC²．
∴△ENC是直角三角形．

点评 本题考查了正方形的性质、勾股定理的运用以及勾股定理的逆定理运用，解题的关键是熟记勾股定理及其逆定理．