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8.如图,已知正方形ABCD的边长是4cm,点E是CD的中点,连结AE,点M是AE的中点,过点M任意作直线分别与边AD、BC相交于点P、Q.若PQ=AE,则AP=$\frac{5}{2}$或$\frac{3}{2}$cm.

分析 如图,过点P作PH⊥BC交BC于H,先证明△PQH≌△AED推出∠AMP=90°,再利用△MAP∽△DAE,得$\frac{AP}{AE}$=$\frac{AM}{AD}$,求出AP,根据对称性求出AP′即可解决问题.

解答 解:如图,过点P作PH⊥BC交BC于H,

∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠D=∠C=∠B=∠BAC=90°,
∵∠D=∠C=∠DPH=90°,
∴四边形PDCH是矩形,
∴PH=CD,
在△PQH和△AED中,
$\left\{\begin{array}{l}{PQ=AE}\\{PH=AD}\end{array}\right.$,
∴△PQH≌△AED,
∴∠DAE=∠QPH,
∵∠QPH+∠APM=90°,
∴∠DAE+∠APM=90°,
∴∠AMP=90°,
∵∠MAP=∠DAE,
∴△MAP∽△DAE,
∴$\frac{AP}{AE}$=$\frac{AM}{AD}$,
∵AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$,AM=ME=$\sqrt{5}$,
∴$\frac{AP}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}$,
∴AP=$\frac{5}{2}$,PD=$\frac{3}{2}$,
根据对称性可得AP′=PD=$\frac{3}{2}$.
故答案为$\frac{5}{2}$或$\frac{3}{2}$.

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是添加辅助线构造全等三角形,学会利用相似三角形的性质解决问题,属于中考常考题型.

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