Question

4．如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB=2，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为MN，展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在MN上的点G处，折痕BE与MN相交于点H；再次展平，连接BG，EG，延长EG交BC于点F．有如下结论：
①EG=FG；②∠ABG=60°；③AE=1；④△BEF是等边三角形；其中正确结论的序号是①②④．

Answer 1

分析 ①由折叠的性质和梯形的性质得出①相切；
②周长△ABG为等边三角形，得出②正确；
③由三角函数求出AE，得出③不正确；
④证出∠EBF=∠BEG=∠BFE=60°，得出④正确；即可得出答案．

解答 解：①如图，连接AG
∵MN垂直平分AB，
∴AD∥BC∥MN，
∴AG=BG，EG=FG，①正确，
②根据折叠的性质，可得
AB=BG，
∴AG=AB=BG．
∴△ABG为等边三角形．
∴∠ABG=60°，∠EDG=60°÷2=30°，
即结论②正确；
③∵∠ABG=60°，∠ABE=∠GBE，
∴∠ABE=∠GBE=60°÷2=30°，
∴AE=AB•tan30°=2×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
即结论③不正确；
④∵∠ABE=∠EBG=30°，∠BGE=∠BAE=90°，
∴∠BEG=∠BGE-∠EBG=90°-30°=60°，
∴∠EBF=∠ABF-∠ABE=90°-30°=60°，
∴∠BFE=180°-60°-60°=60°，
∴∠EBF=∠BEG=∠BFE=60°，
∴△BEF为等边三角形，
即结论④正确；
故答案为：①②④．

点评 此题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、梯形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．